-0,000 007 821 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 007 821 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 007 821 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 007 821 37| = 0,000 007 821 37


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 007 821 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 007 821 37 × 2 = 0 + 0,000 015 642 74;
  • 2) 0,000 015 642 74 × 2 = 0 + 0,000 031 285 48;
  • 3) 0,000 031 285 48 × 2 = 0 + 0,000 062 570 96;
  • 4) 0,000 062 570 96 × 2 = 0 + 0,000 125 141 92;
  • 5) 0,000 125 141 92 × 2 = 0 + 0,000 250 283 84;
  • 6) 0,000 250 283 84 × 2 = 0 + 0,000 500 567 68;
  • 7) 0,000 500 567 68 × 2 = 0 + 0,001 001 135 36;
  • 8) 0,001 001 135 36 × 2 = 0 + 0,002 002 270 72;
  • 9) 0,002 002 270 72 × 2 = 0 + 0,004 004 541 44;
  • 10) 0,004 004 541 44 × 2 = 0 + 0,008 009 082 88;
  • 11) 0,008 009 082 88 × 2 = 0 + 0,016 018 165 76;
  • 12) 0,016 018 165 76 × 2 = 0 + 0,032 036 331 52;
  • 13) 0,032 036 331 52 × 2 = 0 + 0,064 072 663 04;
  • 14) 0,064 072 663 04 × 2 = 0 + 0,128 145 326 08;
  • 15) 0,128 145 326 08 × 2 = 0 + 0,256 290 652 16;
  • 16) 0,256 290 652 16 × 2 = 0 + 0,512 581 304 32;
  • 17) 0,512 581 304 32 × 2 = 1 + 0,025 162 608 64;
  • 18) 0,025 162 608 64 × 2 = 0 + 0,050 325 217 28;
  • 19) 0,050 325 217 28 × 2 = 0 + 0,100 650 434 56;
  • 20) 0,100 650 434 56 × 2 = 0 + 0,201 300 869 12;
  • 21) 0,201 300 869 12 × 2 = 0 + 0,402 601 738 24;
  • 22) 0,402 601 738 24 × 2 = 0 + 0,805 203 476 48;
  • 23) 0,805 203 476 48 × 2 = 1 + 0,610 406 952 96;
  • 24) 0,610 406 952 96 × 2 = 1 + 0,220 813 905 92;
  • 25) 0,220 813 905 92 × 2 = 0 + 0,441 627 811 84;
  • 26) 0,441 627 811 84 × 2 = 0 + 0,883 255 623 68;
  • 27) 0,883 255 623 68 × 2 = 1 + 0,766 511 247 36;
  • 28) 0,766 511 247 36 × 2 = 1 + 0,533 022 494 72;
  • 29) 0,533 022 494 72 × 2 = 1 + 0,066 044 989 44;
  • 30) 0,066 044 989 44 × 2 = 0 + 0,132 089 978 88;
  • 31) 0,132 089 978 88 × 2 = 0 + 0,264 179 957 76;
  • 32) 0,264 179 957 76 × 2 = 0 + 0,528 359 915 52;
  • 33) 0,528 359 915 52 × 2 = 1 + 0,056 719 831 04;
  • 34) 0,056 719 831 04 × 2 = 0 + 0,113 439 662 08;
  • 35) 0,113 439 662 08 × 2 = 0 + 0,226 879 324 16;
  • 36) 0,226 879 324 16 × 2 = 0 + 0,453 758 648 32;
  • 37) 0,453 758 648 32 × 2 = 0 + 0,907 517 296 64;
  • 38) 0,907 517 296 64 × 2 = 1 + 0,815 034 593 28;
  • 39) 0,815 034 593 28 × 2 = 1 + 0,630 069 186 56;
  • 40) 0,630 069 186 56 × 2 = 1 + 0,260 138 373 12;
  • 41) 0,260 138 373 12 × 2 = 0 + 0,520 276 746 24;
  • 42) 0,520 276 746 24 × 2 = 1 + 0,040 553 492 48;
  • 43) 0,040 553 492 48 × 2 = 0 + 0,081 106 984 96;
  • 44) 0,081 106 984 96 × 2 = 0 + 0,162 213 969 92;
  • 45) 0,162 213 969 92 × 2 = 0 + 0,324 427 939 84;
  • 46) 0,324 427 939 84 × 2 = 0 + 0,648 855 879 68;
  • 47) 0,648 855 879 68 × 2 = 1 + 0,297 711 759 36;
  • 48) 0,297 711 759 36 × 2 = 0 + 0,595 423 518 72;
  • 49) 0,595 423 518 72 × 2 = 1 + 0,190 847 037 44;
  • 50) 0,190 847 037 44 × 2 = 0 + 0,381 694 074 88;
  • 51) 0,381 694 074 88 × 2 = 0 + 0,763 388 149 76;
  • 52) 0,763 388 149 76 × 2 = 1 + 0,526 776 299 52;
  • 53) 0,526 776 299 52 × 2 = 1 + 0,053 552 599 04;
  • 54) 0,053 552 599 04 × 2 = 0 + 0,107 105 198 08;
  • 55) 0,107 105 198 08 × 2 = 0 + 0,214 210 396 16;
  • 56) 0,214 210 396 16 × 2 = 0 + 0,428 420 792 32;
  • 57) 0,428 420 792 32 × 2 = 0 + 0,856 841 584 64;
  • 58) 0,856 841 584 64 × 2 = 1 + 0,713 683 169 28;
  • 59) 0,713 683 169 28 × 2 = 1 + 0,427 366 338 56;
  • 60) 0,427 366 338 56 × 2 = 0 + 0,854 732 677 12;
  • 61) 0,854 732 677 12 × 2 = 1 + 0,709 465 354 24;
  • 62) 0,709 465 354 24 × 2 = 1 + 0,418 930 708 48;
  • 63) 0,418 930 708 48 × 2 = 0 + 0,837 861 416 96;
  • 64) 0,837 861 416 96 × 2 = 1 + 0,675 722 833 92;
  • 65) 0,675 722 833 92 × 2 = 1 + 0,351 445 667 84;
  • 66) 0,351 445 667 84 × 2 = 0 + 0,702 891 335 68;
  • 67) 0,702 891 335 68 × 2 = 1 + 0,405 782 671 36;
  • 68) 0,405 782 671 36 × 2 = 0 + 0,811 565 342 72;
  • 69) 0,811 565 342 72 × 2 = 1 + 0,623 130 685 44;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 007 821 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 1000 1000 0111 0100 0010 1001 1000 0110 1101 1010 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 007 821 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 1000 1000 0111 0100 0010 1001 1000 0110 1101 1010 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 007 821 37(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 1000 1000 0111 0100 0010 1001 1000 0110 1101 1010 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 0011 0011 1000 1000 0111 0100 0010 1001 1000 0110 1101 1010 1(2) × 20 =

1,0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101 =

0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101


Numărul zecimal -0,000 007 821 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0000 0110 0111 0001 0000 1110 1000 0101 0011 0000 1101 1011 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 007 821 01 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100