-0,000 008 21 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 008 21(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 008 21(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 008 21| = 0,000 008 21


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 008 21.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 008 21 × 2 = 0 + 0,000 016 42;
  • 2) 0,000 016 42 × 2 = 0 + 0,000 032 84;
  • 3) 0,000 032 84 × 2 = 0 + 0,000 065 68;
  • 4) 0,000 065 68 × 2 = 0 + 0,000 131 36;
  • 5) 0,000 131 36 × 2 = 0 + 0,000 262 72;
  • 6) 0,000 262 72 × 2 = 0 + 0,000 525 44;
  • 7) 0,000 525 44 × 2 = 0 + 0,001 050 88;
  • 8) 0,001 050 88 × 2 = 0 + 0,002 101 76;
  • 9) 0,002 101 76 × 2 = 0 + 0,004 203 52;
  • 10) 0,004 203 52 × 2 = 0 + 0,008 407 04;
  • 11) 0,008 407 04 × 2 = 0 + 0,016 814 08;
  • 12) 0,016 814 08 × 2 = 0 + 0,033 628 16;
  • 13) 0,033 628 16 × 2 = 0 + 0,067 256 32;
  • 14) 0,067 256 32 × 2 = 0 + 0,134 512 64;
  • 15) 0,134 512 64 × 2 = 0 + 0,269 025 28;
  • 16) 0,269 025 28 × 2 = 0 + 0,538 050 56;
  • 17) 0,538 050 56 × 2 = 1 + 0,076 101 12;
  • 18) 0,076 101 12 × 2 = 0 + 0,152 202 24;
  • 19) 0,152 202 24 × 2 = 0 + 0,304 404 48;
  • 20) 0,304 404 48 × 2 = 0 + 0,608 808 96;
  • 21) 0,608 808 96 × 2 = 1 + 0,217 617 92;
  • 22) 0,217 617 92 × 2 = 0 + 0,435 235 84;
  • 23) 0,435 235 84 × 2 = 0 + 0,870 471 68;
  • 24) 0,870 471 68 × 2 = 1 + 0,740 943 36;
  • 25) 0,740 943 36 × 2 = 1 + 0,481 886 72;
  • 26) 0,481 886 72 × 2 = 0 + 0,963 773 44;
  • 27) 0,963 773 44 × 2 = 1 + 0,927 546 88;
  • 28) 0,927 546 88 × 2 = 1 + 0,855 093 76;
  • 29) 0,855 093 76 × 2 = 1 + 0,710 187 52;
  • 30) 0,710 187 52 × 2 = 1 + 0,420 375 04;
  • 31) 0,420 375 04 × 2 = 0 + 0,840 750 08;
  • 32) 0,840 750 08 × 2 = 1 + 0,681 500 16;
  • 33) 0,681 500 16 × 2 = 1 + 0,363 000 32;
  • 34) 0,363 000 32 × 2 = 0 + 0,726 000 64;
  • 35) 0,726 000 64 × 2 = 1 + 0,452 001 28;
  • 36) 0,452 001 28 × 2 = 0 + 0,904 002 56;
  • 37) 0,904 002 56 × 2 = 1 + 0,808 005 12;
  • 38) 0,808 005 12 × 2 = 1 + 0,616 010 24;
  • 39) 0,616 010 24 × 2 = 1 + 0,232 020 48;
  • 40) 0,232 020 48 × 2 = 0 + 0,464 040 96;
  • 41) 0,464 040 96 × 2 = 0 + 0,928 081 92;
  • 42) 0,928 081 92 × 2 = 1 + 0,856 163 84;
  • 43) 0,856 163 84 × 2 = 1 + 0,712 327 68;
  • 44) 0,712 327 68 × 2 = 1 + 0,424 655 36;
  • 45) 0,424 655 36 × 2 = 0 + 0,849 310 72;
  • 46) 0,849 310 72 × 2 = 1 + 0,698 621 44;
  • 47) 0,698 621 44 × 2 = 1 + 0,397 242 88;
  • 48) 0,397 242 88 × 2 = 0 + 0,794 485 76;
  • 49) 0,794 485 76 × 2 = 1 + 0,588 971 52;
  • 50) 0,588 971 52 × 2 = 1 + 0,177 943 04;
  • 51) 0,177 943 04 × 2 = 0 + 0,355 886 08;
  • 52) 0,355 886 08 × 2 = 0 + 0,711 772 16;
  • 53) 0,711 772 16 × 2 = 1 + 0,423 544 32;
  • 54) 0,423 544 32 × 2 = 0 + 0,847 088 64;
  • 55) 0,847 088 64 × 2 = 1 + 0,694 177 28;
  • 56) 0,694 177 28 × 2 = 1 + 0,388 354 56;
  • 57) 0,388 354 56 × 2 = 0 + 0,776 709 12;
  • 58) 0,776 709 12 × 2 = 1 + 0,553 418 24;
  • 59) 0,553 418 24 × 2 = 1 + 0,106 836 48;
  • 60) 0,106 836 48 × 2 = 0 + 0,213 672 96;
  • 61) 0,213 672 96 × 2 = 0 + 0,427 345 92;
  • 62) 0,427 345 92 × 2 = 0 + 0,854 691 84;
  • 63) 0,854 691 84 × 2 = 1 + 0,709 383 68;
  • 64) 0,709 383 68 × 2 = 1 + 0,418 767 36;
  • 65) 0,418 767 36 × 2 = 0 + 0,837 534 72;
  • 66) 0,837 534 72 × 2 = 1 + 0,675 069 44;
  • 67) 0,675 069 44 × 2 = 1 + 0,350 138 88;
  • 68) 0,350 138 88 × 2 = 0 + 0,700 277 76;
  • 69) 0,700 277 76 × 2 = 1 + 0,400 555 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 008 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 1001 1011 1101 1010 1110 0111 0110 1100 1011 0110 0011 0110 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 008 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 1001 1011 1101 1010 1110 0111 0110 1100 1011 0110 0011 0110 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 008 21(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 1001 1011 1101 1010 1110 0111 0110 1100 1011 0110 0011 0110 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1000 1001 1011 1101 1010 1110 0111 0110 1100 1011 0110 0011 0110 1(2) × 20 =

1,0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101 =

0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101


Numărul zecimal -0,000 008 21 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0001 0011 0111 1011 0101 1100 1110 1101 1001 0110 1100 0110 1101

» Scriere -0,000 007 85 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100