-0,000 009 142 084 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 009 142 084(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 009 142 084(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 009 142 084| = 0,000 009 142 084


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 009 142 084.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 009 142 084 × 2 = 0 + 0,000 018 284 168;
  • 2) 0,000 018 284 168 × 2 = 0 + 0,000 036 568 336;
  • 3) 0,000 036 568 336 × 2 = 0 + 0,000 073 136 672;
  • 4) 0,000 073 136 672 × 2 = 0 + 0,000 146 273 344;
  • 5) 0,000 146 273 344 × 2 = 0 + 0,000 292 546 688;
  • 6) 0,000 292 546 688 × 2 = 0 + 0,000 585 093 376;
  • 7) 0,000 585 093 376 × 2 = 0 + 0,001 170 186 752;
  • 8) 0,001 170 186 752 × 2 = 0 + 0,002 340 373 504;
  • 9) 0,002 340 373 504 × 2 = 0 + 0,004 680 747 008;
  • 10) 0,004 680 747 008 × 2 = 0 + 0,009 361 494 016;
  • 11) 0,009 361 494 016 × 2 = 0 + 0,018 722 988 032;
  • 12) 0,018 722 988 032 × 2 = 0 + 0,037 445 976 064;
  • 13) 0,037 445 976 064 × 2 = 0 + 0,074 891 952 128;
  • 14) 0,074 891 952 128 × 2 = 0 + 0,149 783 904 256;
  • 15) 0,149 783 904 256 × 2 = 0 + 0,299 567 808 512;
  • 16) 0,299 567 808 512 × 2 = 0 + 0,599 135 617 024;
  • 17) 0,599 135 617 024 × 2 = 1 + 0,198 271 234 048;
  • 18) 0,198 271 234 048 × 2 = 0 + 0,396 542 468 096;
  • 19) 0,396 542 468 096 × 2 = 0 + 0,793 084 936 192;
  • 20) 0,793 084 936 192 × 2 = 1 + 0,586 169 872 384;
  • 21) 0,586 169 872 384 × 2 = 1 + 0,172 339 744 768;
  • 22) 0,172 339 744 768 × 2 = 0 + 0,344 679 489 536;
  • 23) 0,344 679 489 536 × 2 = 0 + 0,689 358 979 072;
  • 24) 0,689 358 979 072 × 2 = 1 + 0,378 717 958 144;
  • 25) 0,378 717 958 144 × 2 = 0 + 0,757 435 916 288;
  • 26) 0,757 435 916 288 × 2 = 1 + 0,514 871 832 576;
  • 27) 0,514 871 832 576 × 2 = 1 + 0,029 743 665 152;
  • 28) 0,029 743 665 152 × 2 = 0 + 0,059 487 330 304;
  • 29) 0,059 487 330 304 × 2 = 0 + 0,118 974 660 608;
  • 30) 0,118 974 660 608 × 2 = 0 + 0,237 949 321 216;
  • 31) 0,237 949 321 216 × 2 = 0 + 0,475 898 642 432;
  • 32) 0,475 898 642 432 × 2 = 0 + 0,951 797 284 864;
  • 33) 0,951 797 284 864 × 2 = 1 + 0,903 594 569 728;
  • 34) 0,903 594 569 728 × 2 = 1 + 0,807 189 139 456;
  • 35) 0,807 189 139 456 × 2 = 1 + 0,614 378 278 912;
  • 36) 0,614 378 278 912 × 2 = 1 + 0,228 756 557 824;
  • 37) 0,228 756 557 824 × 2 = 0 + 0,457 513 115 648;
  • 38) 0,457 513 115 648 × 2 = 0 + 0,915 026 231 296;
  • 39) 0,915 026 231 296 × 2 = 1 + 0,830 052 462 592;
  • 40) 0,830 052 462 592 × 2 = 1 + 0,660 104 925 184;
  • 41) 0,660 104 925 184 × 2 = 1 + 0,320 209 850 368;
  • 42) 0,320 209 850 368 × 2 = 0 + 0,640 419 700 736;
  • 43) 0,640 419 700 736 × 2 = 1 + 0,280 839 401 472;
  • 44) 0,280 839 401 472 × 2 = 0 + 0,561 678 802 944;
  • 45) 0,561 678 802 944 × 2 = 1 + 0,123 357 605 888;
  • 46) 0,123 357 605 888 × 2 = 0 + 0,246 715 211 776;
  • 47) 0,246 715 211 776 × 2 = 0 + 0,493 430 423 552;
  • 48) 0,493 430 423 552 × 2 = 0 + 0,986 860 847 104;
  • 49) 0,986 860 847 104 × 2 = 1 + 0,973 721 694 208;
  • 50) 0,973 721 694 208 × 2 = 1 + 0,947 443 388 416;
  • 51) 0,947 443 388 416 × 2 = 1 + 0,894 886 776 832;
  • 52) 0,894 886 776 832 × 2 = 1 + 0,789 773 553 664;
  • 53) 0,789 773 553 664 × 2 = 1 + 0,579 547 107 328;
  • 54) 0,579 547 107 328 × 2 = 1 + 0,159 094 214 656;
  • 55) 0,159 094 214 656 × 2 = 0 + 0,318 188 429 312;
  • 56) 0,318 188 429 312 × 2 = 0 + 0,636 376 858 624;
  • 57) 0,636 376 858 624 × 2 = 1 + 0,272 753 717 248;
  • 58) 0,272 753 717 248 × 2 = 0 + 0,545 507 434 496;
  • 59) 0,545 507 434 496 × 2 = 1 + 0,091 014 868 992;
  • 60) 0,091 014 868 992 × 2 = 0 + 0,182 029 737 984;
  • 61) 0,182 029 737 984 × 2 = 0 + 0,364 059 475 968;
  • 62) 0,364 059 475 968 × 2 = 0 + 0,728 118 951 936;
  • 63) 0,728 118 951 936 × 2 = 1 + 0,456 237 903 872;
  • 64) 0,456 237 903 872 × 2 = 0 + 0,912 475 807 744;
  • 65) 0,912 475 807 744 × 2 = 1 + 0,824 951 615 488;
  • 66) 0,824 951 615 488 × 2 = 1 + 0,649 903 230 976;
  • 67) 0,649 903 230 976 × 2 = 1 + 0,299 806 461 952;
  • 68) 0,299 806 461 952 × 2 = 0 + 0,599 612 923 904;
  • 69) 0,599 612 923 904 × 2 = 1 + 0,199 225 847 808;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 009 142 084(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1111 0011 1010 1000 1111 1100 1010 0010 1110 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 009 142 084(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1111 0011 1010 1000 1111 1100 1010 0010 1110 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 009 142 084(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1111 0011 1010 1000 1111 1100 1010 0010 1110 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1001 1001 0110 0000 1111 0011 1010 1000 1111 1100 1010 0010 1110 1(2) × 20 =

1,0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101 =

0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101


Numărul zecimal -0,000 009 142 084 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0011 0010 1100 0001 1110 0111 0101 0001 1111 1001 0100 0101 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 009 142 056 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100