-0,000 010 469 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 010 469(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 010 469(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 010 469| = 0,000 010 469


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 010 469.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 010 469 × 2 = 0 + 0,000 020 938;
  • 2) 0,000 020 938 × 2 = 0 + 0,000 041 876;
  • 3) 0,000 041 876 × 2 = 0 + 0,000 083 752;
  • 4) 0,000 083 752 × 2 = 0 + 0,000 167 504;
  • 5) 0,000 167 504 × 2 = 0 + 0,000 335 008;
  • 6) 0,000 335 008 × 2 = 0 + 0,000 670 016;
  • 7) 0,000 670 016 × 2 = 0 + 0,001 340 032;
  • 8) 0,001 340 032 × 2 = 0 + 0,002 680 064;
  • 9) 0,002 680 064 × 2 = 0 + 0,005 360 128;
  • 10) 0,005 360 128 × 2 = 0 + 0,010 720 256;
  • 11) 0,010 720 256 × 2 = 0 + 0,021 440 512;
  • 12) 0,021 440 512 × 2 = 0 + 0,042 881 024;
  • 13) 0,042 881 024 × 2 = 0 + 0,085 762 048;
  • 14) 0,085 762 048 × 2 = 0 + 0,171 524 096;
  • 15) 0,171 524 096 × 2 = 0 + 0,343 048 192;
  • 16) 0,343 048 192 × 2 = 0 + 0,686 096 384;
  • 17) 0,686 096 384 × 2 = 1 + 0,372 192 768;
  • 18) 0,372 192 768 × 2 = 0 + 0,744 385 536;
  • 19) 0,744 385 536 × 2 = 1 + 0,488 771 072;
  • 20) 0,488 771 072 × 2 = 0 + 0,977 542 144;
  • 21) 0,977 542 144 × 2 = 1 + 0,955 084 288;
  • 22) 0,955 084 288 × 2 = 1 + 0,910 168 576;
  • 23) 0,910 168 576 × 2 = 1 + 0,820 337 152;
  • 24) 0,820 337 152 × 2 = 1 + 0,640 674 304;
  • 25) 0,640 674 304 × 2 = 1 + 0,281 348 608;
  • 26) 0,281 348 608 × 2 = 0 + 0,562 697 216;
  • 27) 0,562 697 216 × 2 = 1 + 0,125 394 432;
  • 28) 0,125 394 432 × 2 = 0 + 0,250 788 864;
  • 29) 0,250 788 864 × 2 = 0 + 0,501 577 728;
  • 30) 0,501 577 728 × 2 = 1 + 0,003 155 456;
  • 31) 0,003 155 456 × 2 = 0 + 0,006 310 912;
  • 32) 0,006 310 912 × 2 = 0 + 0,012 621 824;
  • 33) 0,012 621 824 × 2 = 0 + 0,025 243 648;
  • 34) 0,025 243 648 × 2 = 0 + 0,050 487 296;
  • 35) 0,050 487 296 × 2 = 0 + 0,100 974 592;
  • 36) 0,100 974 592 × 2 = 0 + 0,201 949 184;
  • 37) 0,201 949 184 × 2 = 0 + 0,403 898 368;
  • 38) 0,403 898 368 × 2 = 0 + 0,807 796 736;
  • 39) 0,807 796 736 × 2 = 1 + 0,615 593 472;
  • 40) 0,615 593 472 × 2 = 1 + 0,231 186 944;
  • 41) 0,231 186 944 × 2 = 0 + 0,462 373 888;
  • 42) 0,462 373 888 × 2 = 0 + 0,924 747 776;
  • 43) 0,924 747 776 × 2 = 1 + 0,849 495 552;
  • 44) 0,849 495 552 × 2 = 1 + 0,698 991 104;
  • 45) 0,698 991 104 × 2 = 1 + 0,397 982 208;
  • 46) 0,397 982 208 × 2 = 0 + 0,795 964 416;
  • 47) 0,795 964 416 × 2 = 1 + 0,591 928 832;
  • 48) 0,591 928 832 × 2 = 1 + 0,183 857 664;
  • 49) 0,183 857 664 × 2 = 0 + 0,367 715 328;
  • 50) 0,367 715 328 × 2 = 0 + 0,735 430 656;
  • 51) 0,735 430 656 × 2 = 1 + 0,470 861 312;
  • 52) 0,470 861 312 × 2 = 0 + 0,941 722 624;
  • 53) 0,941 722 624 × 2 = 1 + 0,883 445 248;
  • 54) 0,883 445 248 × 2 = 1 + 0,766 890 496;
  • 55) 0,766 890 496 × 2 = 1 + 0,533 780 992;
  • 56) 0,533 780 992 × 2 = 1 + 0,067 561 984;
  • 57) 0,067 561 984 × 2 = 0 + 0,135 123 968;
  • 58) 0,135 123 968 × 2 = 0 + 0,270 247 936;
  • 59) 0,270 247 936 × 2 = 0 + 0,540 495 872;
  • 60) 0,540 495 872 × 2 = 1 + 0,080 991 744;
  • 61) 0,080 991 744 × 2 = 0 + 0,161 983 488;
  • 62) 0,161 983 488 × 2 = 0 + 0,323 966 976;
  • 63) 0,323 966 976 × 2 = 0 + 0,647 933 952;
  • 64) 0,647 933 952 × 2 = 1 + 0,295 867 904;
  • 65) 0,295 867 904 × 2 = 0 + 0,591 735 808;
  • 66) 0,591 735 808 × 2 = 1 + 0,183 471 616;
  • 67) 0,183 471 616 × 2 = 0 + 0,366 943 232;
  • 68) 0,366 943 232 × 2 = 0 + 0,733 886 464;
  • 69) 0,733 886 464 × 2 = 1 + 0,467 772 928;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 010 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1111 1010 0100 0000 0011 0011 1011 0010 1111 0001 0001 0100 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 010 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1111 1010 0100 0000 0011 0011 1011 0010 1111 0001 0001 0100 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 17 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 010 469(10) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1111 1010 0100 0000 0011 0011 1011 0010 1111 0001 0001 0100 1(2) =

0,0000 0000 0000 0000 1010 1111 1010 0100 0000 0011 0011 1011 0010 1111 0001 0001 0100 1(2) × 20 =

1,0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001(2) × 2-17


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -17

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-17 + 2(11-1) - 1 =

(-17 + 1 023)(10) =

1 006(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 006 : 2 = 503 + 0;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1006(10) =

011 1110 1110(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001 =

0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1110

Mantisă (52 biți) =
0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001


Numărul zecimal -0,000 010 469 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1110 - 0101 1111 0100 1000 0000 0110 0111 0110 0101 1110 0010 0010 1001

» Scriere -0,000 010 424 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100