-0,000 022 178 772 892 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 022 178 772 892(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 022 178 772 892(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 022 178 772 892| = 0,000 022 178 772 892


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 022 178 772 892.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 022 178 772 892 × 2 = 0 + 0,000 044 357 545 784;
  • 2) 0,000 044 357 545 784 × 2 = 0 + 0,000 088 715 091 568;
  • 3) 0,000 088 715 091 568 × 2 = 0 + 0,000 177 430 183 136;
  • 4) 0,000 177 430 183 136 × 2 = 0 + 0,000 354 860 366 272;
  • 5) 0,000 354 860 366 272 × 2 = 0 + 0,000 709 720 732 544;
  • 6) 0,000 709 720 732 544 × 2 = 0 + 0,001 419 441 465 088;
  • 7) 0,001 419 441 465 088 × 2 = 0 + 0,002 838 882 930 176;
  • 8) 0,002 838 882 930 176 × 2 = 0 + 0,005 677 765 860 352;
  • 9) 0,005 677 765 860 352 × 2 = 0 + 0,011 355 531 720 704;
  • 10) 0,011 355 531 720 704 × 2 = 0 + 0,022 711 063 441 408;
  • 11) 0,022 711 063 441 408 × 2 = 0 + 0,045 422 126 882 816;
  • 12) 0,045 422 126 882 816 × 2 = 0 + 0,090 844 253 765 632;
  • 13) 0,090 844 253 765 632 × 2 = 0 + 0,181 688 507 531 264;
  • 14) 0,181 688 507 531 264 × 2 = 0 + 0,363 377 015 062 528;
  • 15) 0,363 377 015 062 528 × 2 = 0 + 0,726 754 030 125 056;
  • 16) 0,726 754 030 125 056 × 2 = 1 + 0,453 508 060 250 112;
  • 17) 0,453 508 060 250 112 × 2 = 0 + 0,907 016 120 500 224;
  • 18) 0,907 016 120 500 224 × 2 = 1 + 0,814 032 241 000 448;
  • 19) 0,814 032 241 000 448 × 2 = 1 + 0,628 064 482 000 896;
  • 20) 0,628 064 482 000 896 × 2 = 1 + 0,256 128 964 001 792;
  • 21) 0,256 128 964 001 792 × 2 = 0 + 0,512 257 928 003 584;
  • 22) 0,512 257 928 003 584 × 2 = 1 + 0,024 515 856 007 168;
  • 23) 0,024 515 856 007 168 × 2 = 0 + 0,049 031 712 014 336;
  • 24) 0,049 031 712 014 336 × 2 = 0 + 0,098 063 424 028 672;
  • 25) 0,098 063 424 028 672 × 2 = 0 + 0,196 126 848 057 344;
  • 26) 0,196 126 848 057 344 × 2 = 0 + 0,392 253 696 114 688;
  • 27) 0,392 253 696 114 688 × 2 = 0 + 0,784 507 392 229 376;
  • 28) 0,784 507 392 229 376 × 2 = 1 + 0,569 014 784 458 752;
  • 29) 0,569 014 784 458 752 × 2 = 1 + 0,138 029 568 917 504;
  • 30) 0,138 029 568 917 504 × 2 = 0 + 0,276 059 137 835 008;
  • 31) 0,276 059 137 835 008 × 2 = 0 + 0,552 118 275 670 016;
  • 32) 0,552 118 275 670 016 × 2 = 1 + 0,104 236 551 340 032;
  • 33) 0,104 236 551 340 032 × 2 = 0 + 0,208 473 102 680 064;
  • 34) 0,208 473 102 680 064 × 2 = 0 + 0,416 946 205 360 128;
  • 35) 0,416 946 205 360 128 × 2 = 0 + 0,833 892 410 720 256;
  • 36) 0,833 892 410 720 256 × 2 = 1 + 0,667 784 821 440 512;
  • 37) 0,667 784 821 440 512 × 2 = 1 + 0,335 569 642 881 024;
  • 38) 0,335 569 642 881 024 × 2 = 0 + 0,671 139 285 762 048;
  • 39) 0,671 139 285 762 048 × 2 = 1 + 0,342 278 571 524 096;
  • 40) 0,342 278 571 524 096 × 2 = 0 + 0,684 557 143 048 192;
  • 41) 0,684 557 143 048 192 × 2 = 1 + 0,369 114 286 096 384;
  • 42) 0,369 114 286 096 384 × 2 = 0 + 0,738 228 572 192 768;
  • 43) 0,738 228 572 192 768 × 2 = 1 + 0,476 457 144 385 536;
  • 44) 0,476 457 144 385 536 × 2 = 0 + 0,952 914 288 771 072;
  • 45) 0,952 914 288 771 072 × 2 = 1 + 0,905 828 577 542 144;
  • 46) 0,905 828 577 542 144 × 2 = 1 + 0,811 657 155 084 288;
  • 47) 0,811 657 155 084 288 × 2 = 1 + 0,623 314 310 168 576;
  • 48) 0,623 314 310 168 576 × 2 = 1 + 0,246 628 620 337 152;
  • 49) 0,246 628 620 337 152 × 2 = 0 + 0,493 257 240 674 304;
  • 50) 0,493 257 240 674 304 × 2 = 0 + 0,986 514 481 348 608;
  • 51) 0,986 514 481 348 608 × 2 = 1 + 0,973 028 962 697 216;
  • 52) 0,973 028 962 697 216 × 2 = 1 + 0,946 057 925 394 432;
  • 53) 0,946 057 925 394 432 × 2 = 1 + 0,892 115 850 788 864;
  • 54) 0,892 115 850 788 864 × 2 = 1 + 0,784 231 701 577 728;
  • 55) 0,784 231 701 577 728 × 2 = 1 + 0,568 463 403 155 456;
  • 56) 0,568 463 403 155 456 × 2 = 1 + 0,136 926 806 310 912;
  • 57) 0,136 926 806 310 912 × 2 = 0 + 0,273 853 612 621 824;
  • 58) 0,273 853 612 621 824 × 2 = 0 + 0,547 707 225 243 648;
  • 59) 0,547 707 225 243 648 × 2 = 1 + 0,095 414 450 487 296;
  • 60) 0,095 414 450 487 296 × 2 = 0 + 0,190 828 900 974 592;
  • 61) 0,190 828 900 974 592 × 2 = 0 + 0,381 657 801 949 184;
  • 62) 0,381 657 801 949 184 × 2 = 0 + 0,763 315 603 898 368;
  • 63) 0,763 315 603 898 368 × 2 = 1 + 0,526 631 207 796 736;
  • 64) 0,526 631 207 796 736 × 2 = 1 + 0,053 262 415 593 472;
  • 65) 0,053 262 415 593 472 × 2 = 0 + 0,106 524 831 186 944;
  • 66) 0,106 524 831 186 944 × 2 = 0 + 0,213 049 662 373 888;
  • 67) 0,213 049 662 373 888 × 2 = 0 + 0,426 099 324 747 776;
  • 68) 0,426 099 324 747 776 × 2 = 0 + 0,852 198 649 495 552;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 022 178 772 892(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 022 178 772 892(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 16 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 022 178 772 892(10) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000(2) =

0,0000 0000 0000 0001 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000(2) × 20 =

1,0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000(2) × 2-16


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -16

Mantisă (nenormalizată):
1,0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-16 + 2(11-1) - 1 =

(-16 + 1 023)(10) =

1 007(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 007 : 2 = 503 + 1;
  • 503 : 2 = 251 + 1;
  • 251 : 2 = 125 + 1;
  • 125 : 2 = 62 + 1;
  • 62 : 2 = 31 + 0;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1007(10) =

011 1110 1111(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000 =

0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1110 1111

Mantisă (52 biți) =
0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000


Numărul zecimal -0,000 022 178 772 892 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1110 1111 - 0111 0100 0001 1001 0001 1010 1010 1111 0011 1111 0010 0011 0000

» Scriere -0,000 022 178 772 805 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100