-0,000 033 393 824 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 033 393 824 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 033 393 824 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 033 393 824 1| = 0,000 033 393 824 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 033 393 824 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 033 393 824 1 × 2 = 0 + 0,000 066 787 648 2;
  • 2) 0,000 066 787 648 2 × 2 = 0 + 0,000 133 575 296 4;
  • 3) 0,000 133 575 296 4 × 2 = 0 + 0,000 267 150 592 8;
  • 4) 0,000 267 150 592 8 × 2 = 0 + 0,000 534 301 185 6;
  • 5) 0,000 534 301 185 6 × 2 = 0 + 0,001 068 602 371 2;
  • 6) 0,001 068 602 371 2 × 2 = 0 + 0,002 137 204 742 4;
  • 7) 0,002 137 204 742 4 × 2 = 0 + 0,004 274 409 484 8;
  • 8) 0,004 274 409 484 8 × 2 = 0 + 0,008 548 818 969 6;
  • 9) 0,008 548 818 969 6 × 2 = 0 + 0,017 097 637 939 2;
  • 10) 0,017 097 637 939 2 × 2 = 0 + 0,034 195 275 878 4;
  • 11) 0,034 195 275 878 4 × 2 = 0 + 0,068 390 551 756 8;
  • 12) 0,068 390 551 756 8 × 2 = 0 + 0,136 781 103 513 6;
  • 13) 0,136 781 103 513 6 × 2 = 0 + 0,273 562 207 027 2;
  • 14) 0,273 562 207 027 2 × 2 = 0 + 0,547 124 414 054 4;
  • 15) 0,547 124 414 054 4 × 2 = 1 + 0,094 248 828 108 8;
  • 16) 0,094 248 828 108 8 × 2 = 0 + 0,188 497 656 217 6;
  • 17) 0,188 497 656 217 6 × 2 = 0 + 0,376 995 312 435 2;
  • 18) 0,376 995 312 435 2 × 2 = 0 + 0,753 990 624 870 4;
  • 19) 0,753 990 624 870 4 × 2 = 1 + 0,507 981 249 740 8;
  • 20) 0,507 981 249 740 8 × 2 = 1 + 0,015 962 499 481 6;
  • 21) 0,015 962 499 481 6 × 2 = 0 + 0,031 924 998 963 2;
  • 22) 0,031 924 998 963 2 × 2 = 0 + 0,063 849 997 926 4;
  • 23) 0,063 849 997 926 4 × 2 = 0 + 0,127 699 995 852 8;
  • 24) 0,127 699 995 852 8 × 2 = 0 + 0,255 399 991 705 6;
  • 25) 0,255 399 991 705 6 × 2 = 0 + 0,510 799 983 411 2;
  • 26) 0,510 799 983 411 2 × 2 = 1 + 0,021 599 966 822 4;
  • 27) 0,021 599 966 822 4 × 2 = 0 + 0,043 199 933 644 8;
  • 28) 0,043 199 933 644 8 × 2 = 0 + 0,086 399 867 289 6;
  • 29) 0,086 399 867 289 6 × 2 = 0 + 0,172 799 734 579 2;
  • 30) 0,172 799 734 579 2 × 2 = 0 + 0,345 599 469 158 4;
  • 31) 0,345 599 469 158 4 × 2 = 0 + 0,691 198 938 316 8;
  • 32) 0,691 198 938 316 8 × 2 = 1 + 0,382 397 876 633 6;
  • 33) 0,382 397 876 633 6 × 2 = 0 + 0,764 795 753 267 2;
  • 34) 0,764 795 753 267 2 × 2 = 1 + 0,529 591 506 534 4;
  • 35) 0,529 591 506 534 4 × 2 = 1 + 0,059 183 013 068 8;
  • 36) 0,059 183 013 068 8 × 2 = 0 + 0,118 366 026 137 6;
  • 37) 0,118 366 026 137 6 × 2 = 0 + 0,236 732 052 275 2;
  • 38) 0,236 732 052 275 2 × 2 = 0 + 0,473 464 104 550 4;
  • 39) 0,473 464 104 550 4 × 2 = 0 + 0,946 928 209 100 8;
  • 40) 0,946 928 209 100 8 × 2 = 1 + 0,893 856 418 201 6;
  • 41) 0,893 856 418 201 6 × 2 = 1 + 0,787 712 836 403 2;
  • 42) 0,787 712 836 403 2 × 2 = 1 + 0,575 425 672 806 4;
  • 43) 0,575 425 672 806 4 × 2 = 1 + 0,150 851 345 612 8;
  • 44) 0,150 851 345 612 8 × 2 = 0 + 0,301 702 691 225 6;
  • 45) 0,301 702 691 225 6 × 2 = 0 + 0,603 405 382 451 2;
  • 46) 0,603 405 382 451 2 × 2 = 1 + 0,206 810 764 902 4;
  • 47) 0,206 810 764 902 4 × 2 = 0 + 0,413 621 529 804 8;
  • 48) 0,413 621 529 804 8 × 2 = 0 + 0,827 243 059 609 6;
  • 49) 0,827 243 059 609 6 × 2 = 1 + 0,654 486 119 219 2;
  • 50) 0,654 486 119 219 2 × 2 = 1 + 0,308 972 238 438 4;
  • 51) 0,308 972 238 438 4 × 2 = 0 + 0,617 944 476 876 8;
  • 52) 0,617 944 476 876 8 × 2 = 1 + 0,235 888 953 753 6;
  • 53) 0,235 888 953 753 6 × 2 = 0 + 0,471 777 907 507 2;
  • 54) 0,471 777 907 507 2 × 2 = 0 + 0,943 555 815 014 4;
  • 55) 0,943 555 815 014 4 × 2 = 1 + 0,887 111 630 028 8;
  • 56) 0,887 111 630 028 8 × 2 = 1 + 0,774 223 260 057 6;
  • 57) 0,774 223 260 057 6 × 2 = 1 + 0,548 446 520 115 2;
  • 58) 0,548 446 520 115 2 × 2 = 1 + 0,096 893 040 230 4;
  • 59) 0,096 893 040 230 4 × 2 = 0 + 0,193 786 080 460 8;
  • 60) 0,193 786 080 460 8 × 2 = 0 + 0,387 572 160 921 6;
  • 61) 0,387 572 160 921 6 × 2 = 0 + 0,775 144 321 843 2;
  • 62) 0,775 144 321 843 2 × 2 = 1 + 0,550 288 643 686 4;
  • 63) 0,550 288 643 686 4 × 2 = 1 + 0,100 577 287 372 8;
  • 64) 0,100 577 287 372 8 × 2 = 0 + 0,201 154 574 745 6;
  • 65) 0,201 154 574 745 6 × 2 = 0 + 0,402 309 149 491 2;
  • 66) 0,402 309 149 491 2 × 2 = 0 + 0,804 618 298 982 4;
  • 67) 0,804 618 298 982 4 × 2 = 1 + 0,609 236 597 964 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 033 393 824 1(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0011 0000 0100 0001 0110 0001 1110 0100 1101 0011 1100 0110 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 033 393 824 1(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0011 0000 0100 0001 0110 0001 1110 0100 1101 0011 1100 0110 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 033 393 824 1(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0011 0000 0100 0001 0110 0001 1110 0100 1101 0011 1100 0110 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0011 0000 0100 0001 0110 0001 1110 0100 1101 0011 1100 0110 001(2) × 20 =

1,0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001 =

0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001


Numărul zecimal -0,000 033 393 824 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0001 1000 0010 0000 1011 0000 1111 0010 0110 1001 1110 0011 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 033 393 821 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100