-0,000 035 666 49 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 49(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 49(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 49| = 0,000 035 666 49


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 49.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 49 × 2 = 0 + 0,000 071 332 98;
  • 2) 0,000 071 332 98 × 2 = 0 + 0,000 142 665 96;
  • 3) 0,000 142 665 96 × 2 = 0 + 0,000 285 331 92;
  • 4) 0,000 285 331 92 × 2 = 0 + 0,000 570 663 84;
  • 5) 0,000 570 663 84 × 2 = 0 + 0,001 141 327 68;
  • 6) 0,001 141 327 68 × 2 = 0 + 0,002 282 655 36;
  • 7) 0,002 282 655 36 × 2 = 0 + 0,004 565 310 72;
  • 8) 0,004 565 310 72 × 2 = 0 + 0,009 130 621 44;
  • 9) 0,009 130 621 44 × 2 = 0 + 0,018 261 242 88;
  • 10) 0,018 261 242 88 × 2 = 0 + 0,036 522 485 76;
  • 11) 0,036 522 485 76 × 2 = 0 + 0,073 044 971 52;
  • 12) 0,073 044 971 52 × 2 = 0 + 0,146 089 943 04;
  • 13) 0,146 089 943 04 × 2 = 0 + 0,292 179 886 08;
  • 14) 0,292 179 886 08 × 2 = 0 + 0,584 359 772 16;
  • 15) 0,584 359 772 16 × 2 = 1 + 0,168 719 544 32;
  • 16) 0,168 719 544 32 × 2 = 0 + 0,337 439 088 64;
  • 17) 0,337 439 088 64 × 2 = 0 + 0,674 878 177 28;
  • 18) 0,674 878 177 28 × 2 = 1 + 0,349 756 354 56;
  • 19) 0,349 756 354 56 × 2 = 0 + 0,699 512 709 12;
  • 20) 0,699 512 709 12 × 2 = 1 + 0,399 025 418 24;
  • 21) 0,399 025 418 24 × 2 = 0 + 0,798 050 836 48;
  • 22) 0,798 050 836 48 × 2 = 1 + 0,596 101 672 96;
  • 23) 0,596 101 672 96 × 2 = 1 + 0,192 203 345 92;
  • 24) 0,192 203 345 92 × 2 = 0 + 0,384 406 691 84;
  • 25) 0,384 406 691 84 × 2 = 0 + 0,768 813 383 68;
  • 26) 0,768 813 383 68 × 2 = 1 + 0,537 626 767 36;
  • 27) 0,537 626 767 36 × 2 = 1 + 0,075 253 534 72;
  • 28) 0,075 253 534 72 × 2 = 0 + 0,150 507 069 44;
  • 29) 0,150 507 069 44 × 2 = 0 + 0,301 014 138 88;
  • 30) 0,301 014 138 88 × 2 = 0 + 0,602 028 277 76;
  • 31) 0,602 028 277 76 × 2 = 1 + 0,204 056 555 52;
  • 32) 0,204 056 555 52 × 2 = 0 + 0,408 113 111 04;
  • 33) 0,408 113 111 04 × 2 = 0 + 0,816 226 222 08;
  • 34) 0,816 226 222 08 × 2 = 1 + 0,632 452 444 16;
  • 35) 0,632 452 444 16 × 2 = 1 + 0,264 904 888 32;
  • 36) 0,264 904 888 32 × 2 = 0 + 0,529 809 776 64;
  • 37) 0,529 809 776 64 × 2 = 1 + 0,059 619 553 28;
  • 38) 0,059 619 553 28 × 2 = 0 + 0,119 239 106 56;
  • 39) 0,119 239 106 56 × 2 = 0 + 0,238 478 213 12;
  • 40) 0,238 478 213 12 × 2 = 0 + 0,476 956 426 24;
  • 41) 0,476 956 426 24 × 2 = 0 + 0,953 912 852 48;
  • 42) 0,953 912 852 48 × 2 = 1 + 0,907 825 704 96;
  • 43) 0,907 825 704 96 × 2 = 1 + 0,815 651 409 92;
  • 44) 0,815 651 409 92 × 2 = 1 + 0,631 302 819 84;
  • 45) 0,631 302 819 84 × 2 = 1 + 0,262 605 639 68;
  • 46) 0,262 605 639 68 × 2 = 0 + 0,525 211 279 36;
  • 47) 0,525 211 279 36 × 2 = 1 + 0,050 422 558 72;
  • 48) 0,050 422 558 72 × 2 = 0 + 0,100 845 117 44;
  • 49) 0,100 845 117 44 × 2 = 0 + 0,201 690 234 88;
  • 50) 0,201 690 234 88 × 2 = 0 + 0,403 380 469 76;
  • 51) 0,403 380 469 76 × 2 = 0 + 0,806 760 939 52;
  • 52) 0,806 760 939 52 × 2 = 1 + 0,613 521 879 04;
  • 53) 0,613 521 879 04 × 2 = 1 + 0,227 043 758 08;
  • 54) 0,227 043 758 08 × 2 = 0 + 0,454 087 516 16;
  • 55) 0,454 087 516 16 × 2 = 0 + 0,908 175 032 32;
  • 56) 0,908 175 032 32 × 2 = 1 + 0,816 350 064 64;
  • 57) 0,816 350 064 64 × 2 = 1 + 0,632 700 129 28;
  • 58) 0,632 700 129 28 × 2 = 1 + 0,265 400 258 56;
  • 59) 0,265 400 258 56 × 2 = 0 + 0,530 800 517 12;
  • 60) 0,530 800 517 12 × 2 = 1 + 0,061 601 034 24;
  • 61) 0,061 601 034 24 × 2 = 0 + 0,123 202 068 48;
  • 62) 0,123 202 068 48 × 2 = 0 + 0,246 404 136 96;
  • 63) 0,246 404 136 96 × 2 = 0 + 0,492 808 273 92;
  • 64) 0,492 808 273 92 × 2 = 0 + 0,985 616 547 84;
  • 65) 0,985 616 547 84 × 2 = 1 + 0,971 233 095 68;
  • 66) 0,971 233 095 68 × 2 = 1 + 0,942 466 191 36;
  • 67) 0,942 466 191 36 × 2 = 1 + 0,884 932 382 72;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 49(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0010 0110 1000 0111 1010 0001 1001 1101 0000 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 49(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0010 0110 1000 0111 1010 0001 1001 1101 0000 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 49(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0010 0110 1000 0111 1010 0001 1001 1101 0000 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0010 0110 1000 0111 1010 0001 1001 1101 0000 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111 =

0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111


Numărul zecimal -0,000 035 666 49 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 0011 0100 0011 1101 0000 1100 1110 1000 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 667 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100