-0,000 035 666 77 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 77(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 77(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 77| = 0,000 035 666 77


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 77.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 77 × 2 = 0 + 0,000 071 333 54;
  • 2) 0,000 071 333 54 × 2 = 0 + 0,000 142 667 08;
  • 3) 0,000 142 667 08 × 2 = 0 + 0,000 285 334 16;
  • 4) 0,000 285 334 16 × 2 = 0 + 0,000 570 668 32;
  • 5) 0,000 570 668 32 × 2 = 0 + 0,001 141 336 64;
  • 6) 0,001 141 336 64 × 2 = 0 + 0,002 282 673 28;
  • 7) 0,002 282 673 28 × 2 = 0 + 0,004 565 346 56;
  • 8) 0,004 565 346 56 × 2 = 0 + 0,009 130 693 12;
  • 9) 0,009 130 693 12 × 2 = 0 + 0,018 261 386 24;
  • 10) 0,018 261 386 24 × 2 = 0 + 0,036 522 772 48;
  • 11) 0,036 522 772 48 × 2 = 0 + 0,073 045 544 96;
  • 12) 0,073 045 544 96 × 2 = 0 + 0,146 091 089 92;
  • 13) 0,146 091 089 92 × 2 = 0 + 0,292 182 179 84;
  • 14) 0,292 182 179 84 × 2 = 0 + 0,584 364 359 68;
  • 15) 0,584 364 359 68 × 2 = 1 + 0,168 728 719 36;
  • 16) 0,168 728 719 36 × 2 = 0 + 0,337 457 438 72;
  • 17) 0,337 457 438 72 × 2 = 0 + 0,674 914 877 44;
  • 18) 0,674 914 877 44 × 2 = 1 + 0,349 829 754 88;
  • 19) 0,349 829 754 88 × 2 = 0 + 0,699 659 509 76;
  • 20) 0,699 659 509 76 × 2 = 1 + 0,399 319 019 52;
  • 21) 0,399 319 019 52 × 2 = 0 + 0,798 638 039 04;
  • 22) 0,798 638 039 04 × 2 = 1 + 0,597 276 078 08;
  • 23) 0,597 276 078 08 × 2 = 1 + 0,194 552 156 16;
  • 24) 0,194 552 156 16 × 2 = 0 + 0,389 104 312 32;
  • 25) 0,389 104 312 32 × 2 = 0 + 0,778 208 624 64;
  • 26) 0,778 208 624 64 × 2 = 1 + 0,556 417 249 28;
  • 27) 0,556 417 249 28 × 2 = 1 + 0,112 834 498 56;
  • 28) 0,112 834 498 56 × 2 = 0 + 0,225 668 997 12;
  • 29) 0,225 668 997 12 × 2 = 0 + 0,451 337 994 24;
  • 30) 0,451 337 994 24 × 2 = 0 + 0,902 675 988 48;
  • 31) 0,902 675 988 48 × 2 = 1 + 0,805 351 976 96;
  • 32) 0,805 351 976 96 × 2 = 1 + 0,610 703 953 92;
  • 33) 0,610 703 953 92 × 2 = 1 + 0,221 407 907 84;
  • 34) 0,221 407 907 84 × 2 = 0 + 0,442 815 815 68;
  • 35) 0,442 815 815 68 × 2 = 0 + 0,885 631 631 36;
  • 36) 0,885 631 631 36 × 2 = 1 + 0,771 263 262 72;
  • 37) 0,771 263 262 72 × 2 = 1 + 0,542 526 525 44;
  • 38) 0,542 526 525 44 × 2 = 1 + 0,085 053 050 88;
  • 39) 0,085 053 050 88 × 2 = 0 + 0,170 106 101 76;
  • 40) 0,170 106 101 76 × 2 = 0 + 0,340 212 203 52;
  • 41) 0,340 212 203 52 × 2 = 0 + 0,680 424 407 04;
  • 42) 0,680 424 407 04 × 2 = 1 + 0,360 848 814 08;
  • 43) 0,360 848 814 08 × 2 = 0 + 0,721 697 628 16;
  • 44) 0,721 697 628 16 × 2 = 1 + 0,443 395 256 32;
  • 45) 0,443 395 256 32 × 2 = 0 + 0,886 790 512 64;
  • 46) 0,886 790 512 64 × 2 = 1 + 0,773 581 025 28;
  • 47) 0,773 581 025 28 × 2 = 1 + 0,547 162 050 56;
  • 48) 0,547 162 050 56 × 2 = 1 + 0,094 324 101 12;
  • 49) 0,094 324 101 12 × 2 = 0 + 0,188 648 202 24;
  • 50) 0,188 648 202 24 × 2 = 0 + 0,377 296 404 48;
  • 51) 0,377 296 404 48 × 2 = 0 + 0,754 592 808 96;
  • 52) 0,754 592 808 96 × 2 = 1 + 0,509 185 617 92;
  • 53) 0,509 185 617 92 × 2 = 1 + 0,018 371 235 84;
  • 54) 0,018 371 235 84 × 2 = 0 + 0,036 742 471 68;
  • 55) 0,036 742 471 68 × 2 = 0 + 0,073 484 943 36;
  • 56) 0,073 484 943 36 × 2 = 0 + 0,146 969 886 72;
  • 57) 0,146 969 886 72 × 2 = 0 + 0,293 939 773 44;
  • 58) 0,293 939 773 44 × 2 = 0 + 0,587 879 546 88;
  • 59) 0,587 879 546 88 × 2 = 1 + 0,175 759 093 76;
  • 60) 0,175 759 093 76 × 2 = 0 + 0,351 518 187 52;
  • 61) 0,351 518 187 52 × 2 = 0 + 0,703 036 375 04;
  • 62) 0,703 036 375 04 × 2 = 1 + 0,406 072 750 08;
  • 63) 0,406 072 750 08 × 2 = 0 + 0,812 145 500 16;
  • 64) 0,812 145 500 16 × 2 = 1 + 0,624 291 000 32;
  • 65) 0,624 291 000 32 × 2 = 1 + 0,248 582 000 64;
  • 66) 0,248 582 000 64 × 2 = 0 + 0,497 164 001 28;
  • 67) 0,497 164 001 28 × 2 = 0 + 0,994 328 002 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 77(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 1100 0101 0111 0001 1000 0010 0101 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 77(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 1100 0101 0111 0001 1000 0010 0101 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 77(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 1100 0101 0111 0001 1000 0010 0101 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1001 1100 0101 0111 0001 1000 0010 0101 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100 =

0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100


Numărul zecimal -0,000 035 666 77 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1100 1110 0010 1011 1000 1100 0001 0010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 667 41 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100