-0,000 035 667 41 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 667 41(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 667 41(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 667 41| = 0,000 035 667 41


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 667 41.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 667 41 × 2 = 0 + 0,000 071 334 82;
  • 2) 0,000 071 334 82 × 2 = 0 + 0,000 142 669 64;
  • 3) 0,000 142 669 64 × 2 = 0 + 0,000 285 339 28;
  • 4) 0,000 285 339 28 × 2 = 0 + 0,000 570 678 56;
  • 5) 0,000 570 678 56 × 2 = 0 + 0,001 141 357 12;
  • 6) 0,001 141 357 12 × 2 = 0 + 0,002 282 714 24;
  • 7) 0,002 282 714 24 × 2 = 0 + 0,004 565 428 48;
  • 8) 0,004 565 428 48 × 2 = 0 + 0,009 130 856 96;
  • 9) 0,009 130 856 96 × 2 = 0 + 0,018 261 713 92;
  • 10) 0,018 261 713 92 × 2 = 0 + 0,036 523 427 84;
  • 11) 0,036 523 427 84 × 2 = 0 + 0,073 046 855 68;
  • 12) 0,073 046 855 68 × 2 = 0 + 0,146 093 711 36;
  • 13) 0,146 093 711 36 × 2 = 0 + 0,292 187 422 72;
  • 14) 0,292 187 422 72 × 2 = 0 + 0,584 374 845 44;
  • 15) 0,584 374 845 44 × 2 = 1 + 0,168 749 690 88;
  • 16) 0,168 749 690 88 × 2 = 0 + 0,337 499 381 76;
  • 17) 0,337 499 381 76 × 2 = 0 + 0,674 998 763 52;
  • 18) 0,674 998 763 52 × 2 = 1 + 0,349 997 527 04;
  • 19) 0,349 997 527 04 × 2 = 0 + 0,699 995 054 08;
  • 20) 0,699 995 054 08 × 2 = 1 + 0,399 990 108 16;
  • 21) 0,399 990 108 16 × 2 = 0 + 0,799 980 216 32;
  • 22) 0,799 980 216 32 × 2 = 1 + 0,599 960 432 64;
  • 23) 0,599 960 432 64 × 2 = 1 + 0,199 920 865 28;
  • 24) 0,199 920 865 28 × 2 = 0 + 0,399 841 730 56;
  • 25) 0,399 841 730 56 × 2 = 0 + 0,799 683 461 12;
  • 26) 0,799 683 461 12 × 2 = 1 + 0,599 366 922 24;
  • 27) 0,599 366 922 24 × 2 = 1 + 0,198 733 844 48;
  • 28) 0,198 733 844 48 × 2 = 0 + 0,397 467 688 96;
  • 29) 0,397 467 688 96 × 2 = 0 + 0,794 935 377 92;
  • 30) 0,794 935 377 92 × 2 = 1 + 0,589 870 755 84;
  • 31) 0,589 870 755 84 × 2 = 1 + 0,179 741 511 68;
  • 32) 0,179 741 511 68 × 2 = 0 + 0,359 483 023 36;
  • 33) 0,359 483 023 36 × 2 = 0 + 0,718 966 046 72;
  • 34) 0,718 966 046 72 × 2 = 1 + 0,437 932 093 44;
  • 35) 0,437 932 093 44 × 2 = 0 + 0,875 864 186 88;
  • 36) 0,875 864 186 88 × 2 = 1 + 0,751 728 373 76;
  • 37) 0,751 728 373 76 × 2 = 1 + 0,503 456 747 52;
  • 38) 0,503 456 747 52 × 2 = 1 + 0,006 913 495 04;
  • 39) 0,006 913 495 04 × 2 = 0 + 0,013 826 990 08;
  • 40) 0,013 826 990 08 × 2 = 0 + 0,027 653 980 16;
  • 41) 0,027 653 980 16 × 2 = 0 + 0,055 307 960 32;
  • 42) 0,055 307 960 32 × 2 = 0 + 0,110 615 920 64;
  • 43) 0,110 615 920 64 × 2 = 0 + 0,221 231 841 28;
  • 44) 0,221 231 841 28 × 2 = 0 + 0,442 463 682 56;
  • 45) 0,442 463 682 56 × 2 = 0 + 0,884 927 365 12;
  • 46) 0,884 927 365 12 × 2 = 1 + 0,769 854 730 24;
  • 47) 0,769 854 730 24 × 2 = 1 + 0,539 709 460 48;
  • 48) 0,539 709 460 48 × 2 = 1 + 0,079 418 920 96;
  • 49) 0,079 418 920 96 × 2 = 0 + 0,158 837 841 92;
  • 50) 0,158 837 841 92 × 2 = 0 + 0,317 675 683 84;
  • 51) 0,317 675 683 84 × 2 = 0 + 0,635 351 367 68;
  • 52) 0,635 351 367 68 × 2 = 1 + 0,270 702 735 36;
  • 53) 0,270 702 735 36 × 2 = 0 + 0,541 405 470 72;
  • 54) 0,541 405 470 72 × 2 = 1 + 0,082 810 941 44;
  • 55) 0,082 810 941 44 × 2 = 0 + 0,165 621 882 88;
  • 56) 0,165 621 882 88 × 2 = 0 + 0,331 243 765 76;
  • 57) 0,331 243 765 76 × 2 = 0 + 0,662 487 531 52;
  • 58) 0,662 487 531 52 × 2 = 1 + 0,324 975 063 04;
  • 59) 0,324 975 063 04 × 2 = 0 + 0,649 950 126 08;
  • 60) 0,649 950 126 08 × 2 = 1 + 0,299 900 252 16;
  • 61) 0,299 900 252 16 × 2 = 0 + 0,599 800 504 32;
  • 62) 0,599 800 504 32 × 2 = 1 + 0,199 601 008 64;
  • 63) 0,199 601 008 64 × 2 = 0 + 0,399 202 017 28;
  • 64) 0,399 202 017 28 × 2 = 0 + 0,798 404 034 56;
  • 65) 0,798 404 034 56 × 2 = 1 + 0,596 808 069 12;
  • 66) 0,596 808 069 12 × 2 = 1 + 0,193 616 138 24;
  • 67) 0,193 616 138 24 × 2 = 0 + 0,387 232 276 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 667 41(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0110 0101 1100 0000 0111 0001 0100 0101 0100 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 667 41(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0110 0101 1100 0000 0111 0001 0100 0101 0100 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 667 41(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0110 0101 1100 0000 0111 0001 0100 0101 0100 110(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0110 0101 1100 0000 0111 0001 0100 0101 0100 110(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110 =

0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110


Numărul zecimal -0,000 035 667 41 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0011 0010 1110 0000 0011 1000 1010 0010 1010 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 56 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100