-0,000 035 666 792 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 792(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 792(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 792| = 0,000 035 666 792


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 792.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 792 × 2 = 0 + 0,000 071 333 584;
  • 2) 0,000 071 333 584 × 2 = 0 + 0,000 142 667 168;
  • 3) 0,000 142 667 168 × 2 = 0 + 0,000 285 334 336;
  • 4) 0,000 285 334 336 × 2 = 0 + 0,000 570 668 672;
  • 5) 0,000 570 668 672 × 2 = 0 + 0,001 141 337 344;
  • 6) 0,001 141 337 344 × 2 = 0 + 0,002 282 674 688;
  • 7) 0,002 282 674 688 × 2 = 0 + 0,004 565 349 376;
  • 8) 0,004 565 349 376 × 2 = 0 + 0,009 130 698 752;
  • 9) 0,009 130 698 752 × 2 = 0 + 0,018 261 397 504;
  • 10) 0,018 261 397 504 × 2 = 0 + 0,036 522 795 008;
  • 11) 0,036 522 795 008 × 2 = 0 + 0,073 045 590 016;
  • 12) 0,073 045 590 016 × 2 = 0 + 0,146 091 180 032;
  • 13) 0,146 091 180 032 × 2 = 0 + 0,292 182 360 064;
  • 14) 0,292 182 360 064 × 2 = 0 + 0,584 364 720 128;
  • 15) 0,584 364 720 128 × 2 = 1 + 0,168 729 440 256;
  • 16) 0,168 729 440 256 × 2 = 0 + 0,337 458 880 512;
  • 17) 0,337 458 880 512 × 2 = 0 + 0,674 917 761 024;
  • 18) 0,674 917 761 024 × 2 = 1 + 0,349 835 522 048;
  • 19) 0,349 835 522 048 × 2 = 0 + 0,699 671 044 096;
  • 20) 0,699 671 044 096 × 2 = 1 + 0,399 342 088 192;
  • 21) 0,399 342 088 192 × 2 = 0 + 0,798 684 176 384;
  • 22) 0,798 684 176 384 × 2 = 1 + 0,597 368 352 768;
  • 23) 0,597 368 352 768 × 2 = 1 + 0,194 736 705 536;
  • 24) 0,194 736 705 536 × 2 = 0 + 0,389 473 411 072;
  • 25) 0,389 473 411 072 × 2 = 0 + 0,778 946 822 144;
  • 26) 0,778 946 822 144 × 2 = 1 + 0,557 893 644 288;
  • 27) 0,557 893 644 288 × 2 = 1 + 0,115 787 288 576;
  • 28) 0,115 787 288 576 × 2 = 0 + 0,231 574 577 152;
  • 29) 0,231 574 577 152 × 2 = 0 + 0,463 149 154 304;
  • 30) 0,463 149 154 304 × 2 = 0 + 0,926 298 308 608;
  • 31) 0,926 298 308 608 × 2 = 1 + 0,852 596 617 216;
  • 32) 0,852 596 617 216 × 2 = 1 + 0,705 193 234 432;
  • 33) 0,705 193 234 432 × 2 = 1 + 0,410 386 468 864;
  • 34) 0,410 386 468 864 × 2 = 0 + 0,820 772 937 728;
  • 35) 0,820 772 937 728 × 2 = 1 + 0,641 545 875 456;
  • 36) 0,641 545 875 456 × 2 = 1 + 0,283 091 750 912;
  • 37) 0,283 091 750 912 × 2 = 0 + 0,566 183 501 824;
  • 38) 0,566 183 501 824 × 2 = 1 + 0,132 367 003 648;
  • 39) 0,132 367 003 648 × 2 = 0 + 0,264 734 007 296;
  • 40) 0,264 734 007 296 × 2 = 0 + 0,529 468 014 592;
  • 41) 0,529 468 014 592 × 2 = 1 + 0,058 936 029 184;
  • 42) 0,058 936 029 184 × 2 = 0 + 0,117 872 058 368;
  • 43) 0,117 872 058 368 × 2 = 0 + 0,235 744 116 736;
  • 44) 0,235 744 116 736 × 2 = 0 + 0,471 488 233 472;
  • 45) 0,471 488 233 472 × 2 = 0 + 0,942 976 466 944;
  • 46) 0,942 976 466 944 × 2 = 1 + 0,885 952 933 888;
  • 47) 0,885 952 933 888 × 2 = 1 + 0,771 905 867 776;
  • 48) 0,771 905 867 776 × 2 = 1 + 0,543 811 735 552;
  • 49) 0,543 811 735 552 × 2 = 1 + 0,087 623 471 104;
  • 50) 0,087 623 471 104 × 2 = 0 + 0,175 246 942 208;
  • 51) 0,175 246 942 208 × 2 = 0 + 0,350 493 884 416;
  • 52) 0,350 493 884 416 × 2 = 0 + 0,700 987 768 832;
  • 53) 0,700 987 768 832 × 2 = 1 + 0,401 975 537 664;
  • 54) 0,401 975 537 664 × 2 = 0 + 0,803 951 075 328;
  • 55) 0,803 951 075 328 × 2 = 1 + 0,607 902 150 656;
  • 56) 0,607 902 150 656 × 2 = 1 + 0,215 804 301 312;
  • 57) 0,215 804 301 312 × 2 = 0 + 0,431 608 602 624;
  • 58) 0,431 608 602 624 × 2 = 0 + 0,863 217 205 248;
  • 59) 0,863 217 205 248 × 2 = 1 + 0,726 434 410 496;
  • 60) 0,726 434 410 496 × 2 = 1 + 0,452 868 820 992;
  • 61) 0,452 868 820 992 × 2 = 0 + 0,905 737 641 984;
  • 62) 0,905 737 641 984 × 2 = 1 + 0,811 475 283 968;
  • 63) 0,811 475 283 968 × 2 = 1 + 0,622 950 567 936;
  • 64) 0,622 950 567 936 × 2 = 1 + 0,245 901 135 872;
  • 65) 0,245 901 135 872 × 2 = 0 + 0,491 802 271 744;
  • 66) 0,491 802 271 744 × 2 = 0 + 0,983 604 543 488;
  • 67) 0,983 604 543 488 × 2 = 1 + 0,967 209 086 976;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 792(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 0100 1000 0111 1000 1011 0011 0111 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 792(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 0100 1000 0111 1000 1011 0011 0111 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 792(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 0100 1000 0111 1000 1011 0011 0111 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 0100 1000 0111 1000 1011 0011 0111 001(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001 =

0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001


Numărul zecimal -0,000 035 666 792 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1101 1010 0100 0011 1100 0101 1001 1011 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100