-0,000 035 666 797 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 797(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 797(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 797| = 0,000 035 666 797


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 797.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 797 × 2 = 0 + 0,000 071 333 594;
  • 2) 0,000 071 333 594 × 2 = 0 + 0,000 142 667 188;
  • 3) 0,000 142 667 188 × 2 = 0 + 0,000 285 334 376;
  • 4) 0,000 285 334 376 × 2 = 0 + 0,000 570 668 752;
  • 5) 0,000 570 668 752 × 2 = 0 + 0,001 141 337 504;
  • 6) 0,001 141 337 504 × 2 = 0 + 0,002 282 675 008;
  • 7) 0,002 282 675 008 × 2 = 0 + 0,004 565 350 016;
  • 8) 0,004 565 350 016 × 2 = 0 + 0,009 130 700 032;
  • 9) 0,009 130 700 032 × 2 = 0 + 0,018 261 400 064;
  • 10) 0,018 261 400 064 × 2 = 0 + 0,036 522 800 128;
  • 11) 0,036 522 800 128 × 2 = 0 + 0,073 045 600 256;
  • 12) 0,073 045 600 256 × 2 = 0 + 0,146 091 200 512;
  • 13) 0,146 091 200 512 × 2 = 0 + 0,292 182 401 024;
  • 14) 0,292 182 401 024 × 2 = 0 + 0,584 364 802 048;
  • 15) 0,584 364 802 048 × 2 = 1 + 0,168 729 604 096;
  • 16) 0,168 729 604 096 × 2 = 0 + 0,337 459 208 192;
  • 17) 0,337 459 208 192 × 2 = 0 + 0,674 918 416 384;
  • 18) 0,674 918 416 384 × 2 = 1 + 0,349 836 832 768;
  • 19) 0,349 836 832 768 × 2 = 0 + 0,699 673 665 536;
  • 20) 0,699 673 665 536 × 2 = 1 + 0,399 347 331 072;
  • 21) 0,399 347 331 072 × 2 = 0 + 0,798 694 662 144;
  • 22) 0,798 694 662 144 × 2 = 1 + 0,597 389 324 288;
  • 23) 0,597 389 324 288 × 2 = 1 + 0,194 778 648 576;
  • 24) 0,194 778 648 576 × 2 = 0 + 0,389 557 297 152;
  • 25) 0,389 557 297 152 × 2 = 0 + 0,779 114 594 304;
  • 26) 0,779 114 594 304 × 2 = 1 + 0,558 229 188 608;
  • 27) 0,558 229 188 608 × 2 = 1 + 0,116 458 377 216;
  • 28) 0,116 458 377 216 × 2 = 0 + 0,232 916 754 432;
  • 29) 0,232 916 754 432 × 2 = 0 + 0,465 833 508 864;
  • 30) 0,465 833 508 864 × 2 = 0 + 0,931 667 017 728;
  • 31) 0,931 667 017 728 × 2 = 1 + 0,863 334 035 456;
  • 32) 0,863 334 035 456 × 2 = 1 + 0,726 668 070 912;
  • 33) 0,726 668 070 912 × 2 = 1 + 0,453 336 141 824;
  • 34) 0,453 336 141 824 × 2 = 0 + 0,906 672 283 648;
  • 35) 0,906 672 283 648 × 2 = 1 + 0,813 344 567 296;
  • 36) 0,813 344 567 296 × 2 = 1 + 0,626 689 134 592;
  • 37) 0,626 689 134 592 × 2 = 1 + 0,253 378 269 184;
  • 38) 0,253 378 269 184 × 2 = 0 + 0,506 756 538 368;
  • 39) 0,506 756 538 368 × 2 = 1 + 0,013 513 076 736;
  • 40) 0,013 513 076 736 × 2 = 0 + 0,027 026 153 472;
  • 41) 0,027 026 153 472 × 2 = 0 + 0,054 052 306 944;
  • 42) 0,054 052 306 944 × 2 = 0 + 0,108 104 613 888;
  • 43) 0,108 104 613 888 × 2 = 0 + 0,216 209 227 776;
  • 44) 0,216 209 227 776 × 2 = 0 + 0,432 418 455 552;
  • 45) 0,432 418 455 552 × 2 = 0 + 0,864 836 911 104;
  • 46) 0,864 836 911 104 × 2 = 1 + 0,729 673 822 208;
  • 47) 0,729 673 822 208 × 2 = 1 + 0,459 347 644 416;
  • 48) 0,459 347 644 416 × 2 = 0 + 0,918 695 288 832;
  • 49) 0,918 695 288 832 × 2 = 1 + 0,837 390 577 664;
  • 50) 0,837 390 577 664 × 2 = 1 + 0,674 781 155 328;
  • 51) 0,674 781 155 328 × 2 = 1 + 0,349 562 310 656;
  • 52) 0,349 562 310 656 × 2 = 0 + 0,699 124 621 312;
  • 53) 0,699 124 621 312 × 2 = 1 + 0,398 249 242 624;
  • 54) 0,398 249 242 624 × 2 = 0 + 0,796 498 485 248;
  • 55) 0,796 498 485 248 × 2 = 1 + 0,592 996 970 496;
  • 56) 0,592 996 970 496 × 2 = 1 + 0,185 993 940 992;
  • 57) 0,185 993 940 992 × 2 = 0 + 0,371 987 881 984;
  • 58) 0,371 987 881 984 × 2 = 0 + 0,743 975 763 968;
  • 59) 0,743 975 763 968 × 2 = 1 + 0,487 951 527 936;
  • 60) 0,487 951 527 936 × 2 = 0 + 0,975 903 055 872;
  • 61) 0,975 903 055 872 × 2 = 1 + 0,951 806 111 744;
  • 62) 0,951 806 111 744 × 2 = 1 + 0,903 612 223 488;
  • 63) 0,903 612 223 488 × 2 = 1 + 0,807 224 446 976;
  • 64) 0,807 224 446 976 × 2 = 1 + 0,614 448 893 952;
  • 65) 0,614 448 893 952 × 2 = 1 + 0,228 897 787 904;
  • 66) 0,228 897 787 904 × 2 = 0 + 0,457 795 575 808;
  • 67) 0,457 795 575 808 × 2 = 0 + 0,915 591 151 616;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 797(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 1010 0000 0110 1110 1011 0010 1111 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 797(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 1010 0000 0110 1110 1011 0010 1111 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 797(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 1010 0000 0110 1110 1011 0010 1111 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1011 1010 0000 0110 1110 1011 0010 1111 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100 =

0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100


Numărul zecimal -0,000 035 666 797 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1101 1101 0000 0011 0111 0101 1001 0111 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 705 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100