-0,000 035 666 81 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 81(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 81(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 81| = 0,000 035 666 81


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 81.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 81 × 2 = 0 + 0,000 071 333 62;
  • 2) 0,000 071 333 62 × 2 = 0 + 0,000 142 667 24;
  • 3) 0,000 142 667 24 × 2 = 0 + 0,000 285 334 48;
  • 4) 0,000 285 334 48 × 2 = 0 + 0,000 570 668 96;
  • 5) 0,000 570 668 96 × 2 = 0 + 0,001 141 337 92;
  • 6) 0,001 141 337 92 × 2 = 0 + 0,002 282 675 84;
  • 7) 0,002 282 675 84 × 2 = 0 + 0,004 565 351 68;
  • 8) 0,004 565 351 68 × 2 = 0 + 0,009 130 703 36;
  • 9) 0,009 130 703 36 × 2 = 0 + 0,018 261 406 72;
  • 10) 0,018 261 406 72 × 2 = 0 + 0,036 522 813 44;
  • 11) 0,036 522 813 44 × 2 = 0 + 0,073 045 626 88;
  • 12) 0,073 045 626 88 × 2 = 0 + 0,146 091 253 76;
  • 13) 0,146 091 253 76 × 2 = 0 + 0,292 182 507 52;
  • 14) 0,292 182 507 52 × 2 = 0 + 0,584 365 015 04;
  • 15) 0,584 365 015 04 × 2 = 1 + 0,168 730 030 08;
  • 16) 0,168 730 030 08 × 2 = 0 + 0,337 460 060 16;
  • 17) 0,337 460 060 16 × 2 = 0 + 0,674 920 120 32;
  • 18) 0,674 920 120 32 × 2 = 1 + 0,349 840 240 64;
  • 19) 0,349 840 240 64 × 2 = 0 + 0,699 680 481 28;
  • 20) 0,699 680 481 28 × 2 = 1 + 0,399 360 962 56;
  • 21) 0,399 360 962 56 × 2 = 0 + 0,798 721 925 12;
  • 22) 0,798 721 925 12 × 2 = 1 + 0,597 443 850 24;
  • 23) 0,597 443 850 24 × 2 = 1 + 0,194 887 700 48;
  • 24) 0,194 887 700 48 × 2 = 0 + 0,389 775 400 96;
  • 25) 0,389 775 400 96 × 2 = 0 + 0,779 550 801 92;
  • 26) 0,779 550 801 92 × 2 = 1 + 0,559 101 603 84;
  • 27) 0,559 101 603 84 × 2 = 1 + 0,118 203 207 68;
  • 28) 0,118 203 207 68 × 2 = 0 + 0,236 406 415 36;
  • 29) 0,236 406 415 36 × 2 = 0 + 0,472 812 830 72;
  • 30) 0,472 812 830 72 × 2 = 0 + 0,945 625 661 44;
  • 31) 0,945 625 661 44 × 2 = 1 + 0,891 251 322 88;
  • 32) 0,891 251 322 88 × 2 = 1 + 0,782 502 645 76;
  • 33) 0,782 502 645 76 × 2 = 1 + 0,565 005 291 52;
  • 34) 0,565 005 291 52 × 2 = 1 + 0,130 010 583 04;
  • 35) 0,130 010 583 04 × 2 = 0 + 0,260 021 166 08;
  • 36) 0,260 021 166 08 × 2 = 0 + 0,520 042 332 16;
  • 37) 0,520 042 332 16 × 2 = 1 + 0,040 084 664 32;
  • 38) 0,040 084 664 32 × 2 = 0 + 0,080 169 328 64;
  • 39) 0,080 169 328 64 × 2 = 0 + 0,160 338 657 28;
  • 40) 0,160 338 657 28 × 2 = 0 + 0,320 677 314 56;
  • 41) 0,320 677 314 56 × 2 = 0 + 0,641 354 629 12;
  • 42) 0,641 354 629 12 × 2 = 1 + 0,282 709 258 24;
  • 43) 0,282 709 258 24 × 2 = 0 + 0,565 418 516 48;
  • 44) 0,565 418 516 48 × 2 = 1 + 0,130 837 032 96;
  • 45) 0,130 837 032 96 × 2 = 0 + 0,261 674 065 92;
  • 46) 0,261 674 065 92 × 2 = 0 + 0,523 348 131 84;
  • 47) 0,523 348 131 84 × 2 = 1 + 0,046 696 263 68;
  • 48) 0,046 696 263 68 × 2 = 0 + 0,093 392 527 36;
  • 49) 0,093 392 527 36 × 2 = 0 + 0,186 785 054 72;
  • 50) 0,186 785 054 72 × 2 = 0 + 0,373 570 109 44;
  • 51) 0,373 570 109 44 × 2 = 0 + 0,747 140 218 88;
  • 52) 0,747 140 218 88 × 2 = 1 + 0,494 280 437 76;
  • 53) 0,494 280 437 76 × 2 = 0 + 0,988 560 875 52;
  • 54) 0,988 560 875 52 × 2 = 1 + 0,977 121 751 04;
  • 55) 0,977 121 751 04 × 2 = 1 + 0,954 243 502 08;
  • 56) 0,954 243 502 08 × 2 = 1 + 0,908 487 004 16;
  • 57) 0,908 487 004 16 × 2 = 1 + 0,816 974 008 32;
  • 58) 0,816 974 008 32 × 2 = 1 + 0,633 948 016 64;
  • 59) 0,633 948 016 64 × 2 = 1 + 0,267 896 033 28;
  • 60) 0,267 896 033 28 × 2 = 0 + 0,535 792 066 56;
  • 61) 0,535 792 066 56 × 2 = 1 + 0,071 584 133 12;
  • 62) 0,071 584 133 12 × 2 = 0 + 0,143 168 266 24;
  • 63) 0,143 168 266 24 × 2 = 0 + 0,286 336 532 48;
  • 64) 0,286 336 532 48 × 2 = 0 + 0,572 673 064 96;
  • 65) 0,572 673 064 96 × 2 = 1 + 0,145 346 129 92;
  • 66) 0,145 346 129 92 × 2 = 0 + 0,290 692 259 84;
  • 67) 0,290 692 259 84 × 2 = 0 + 0,581 384 519 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 81(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1100 1000 0101 0010 0001 0111 1110 1000 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 81(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1100 1000 0101 0010 0001 0111 1110 1000 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 81(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1100 1000 0101 0010 0001 0111 1110 1000 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1100 1000 0101 0010 0001 0111 1110 1000 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100 =

0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100


Numărul zecimal -0,000 035 666 81 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1110 0100 0010 1001 0000 1011 1111 0100 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 49 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100