-0,000 035 666 834 35 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 834 35(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 834 35(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 834 35| = 0,000 035 666 834 35


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 834 35.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 834 35 × 2 = 0 + 0,000 071 333 668 7;
  • 2) 0,000 071 333 668 7 × 2 = 0 + 0,000 142 667 337 4;
  • 3) 0,000 142 667 337 4 × 2 = 0 + 0,000 285 334 674 8;
  • 4) 0,000 285 334 674 8 × 2 = 0 + 0,000 570 669 349 6;
  • 5) 0,000 570 669 349 6 × 2 = 0 + 0,001 141 338 699 2;
  • 6) 0,001 141 338 699 2 × 2 = 0 + 0,002 282 677 398 4;
  • 7) 0,002 282 677 398 4 × 2 = 0 + 0,004 565 354 796 8;
  • 8) 0,004 565 354 796 8 × 2 = 0 + 0,009 130 709 593 6;
  • 9) 0,009 130 709 593 6 × 2 = 0 + 0,018 261 419 187 2;
  • 10) 0,018 261 419 187 2 × 2 = 0 + 0,036 522 838 374 4;
  • 11) 0,036 522 838 374 4 × 2 = 0 + 0,073 045 676 748 8;
  • 12) 0,073 045 676 748 8 × 2 = 0 + 0,146 091 353 497 6;
  • 13) 0,146 091 353 497 6 × 2 = 0 + 0,292 182 706 995 2;
  • 14) 0,292 182 706 995 2 × 2 = 0 + 0,584 365 413 990 4;
  • 15) 0,584 365 413 990 4 × 2 = 1 + 0,168 730 827 980 8;
  • 16) 0,168 730 827 980 8 × 2 = 0 + 0,337 461 655 961 6;
  • 17) 0,337 461 655 961 6 × 2 = 0 + 0,674 923 311 923 2;
  • 18) 0,674 923 311 923 2 × 2 = 1 + 0,349 846 623 846 4;
  • 19) 0,349 846 623 846 4 × 2 = 0 + 0,699 693 247 692 8;
  • 20) 0,699 693 247 692 8 × 2 = 1 + 0,399 386 495 385 6;
  • 21) 0,399 386 495 385 6 × 2 = 0 + 0,798 772 990 771 2;
  • 22) 0,798 772 990 771 2 × 2 = 1 + 0,597 545 981 542 4;
  • 23) 0,597 545 981 542 4 × 2 = 1 + 0,195 091 963 084 8;
  • 24) 0,195 091 963 084 8 × 2 = 0 + 0,390 183 926 169 6;
  • 25) 0,390 183 926 169 6 × 2 = 0 + 0,780 367 852 339 2;
  • 26) 0,780 367 852 339 2 × 2 = 1 + 0,560 735 704 678 4;
  • 27) 0,560 735 704 678 4 × 2 = 1 + 0,121 471 409 356 8;
  • 28) 0,121 471 409 356 8 × 2 = 0 + 0,242 942 818 713 6;
  • 29) 0,242 942 818 713 6 × 2 = 0 + 0,485 885 637 427 2;
  • 30) 0,485 885 637 427 2 × 2 = 0 + 0,971 771 274 854 4;
  • 31) 0,971 771 274 854 4 × 2 = 1 + 0,943 542 549 708 8;
  • 32) 0,943 542 549 708 8 × 2 = 1 + 0,887 085 099 417 6;
  • 33) 0,887 085 099 417 6 × 2 = 1 + 0,774 170 198 835 2;
  • 34) 0,774 170 198 835 2 × 2 = 1 + 0,548 340 397 670 4;
  • 35) 0,548 340 397 670 4 × 2 = 1 + 0,096 680 795 340 8;
  • 36) 0,096 680 795 340 8 × 2 = 0 + 0,193 361 590 681 6;
  • 37) 0,193 361 590 681 6 × 2 = 0 + 0,386 723 181 363 2;
  • 38) 0,386 723 181 363 2 × 2 = 0 + 0,773 446 362 726 4;
  • 39) 0,773 446 362 726 4 × 2 = 1 + 0,546 892 725 452 8;
  • 40) 0,546 892 725 452 8 × 2 = 1 + 0,093 785 450 905 6;
  • 41) 0,093 785 450 905 6 × 2 = 0 + 0,187 570 901 811 2;
  • 42) 0,187 570 901 811 2 × 2 = 0 + 0,375 141 803 622 4;
  • 43) 0,375 141 803 622 4 × 2 = 0 + 0,750 283 607 244 8;
  • 44) 0,750 283 607 244 8 × 2 = 1 + 0,500 567 214 489 6;
  • 45) 0,500 567 214 489 6 × 2 = 1 + 0,001 134 428 979 2;
  • 46) 0,001 134 428 979 2 × 2 = 0 + 0,002 268 857 958 4;
  • 47) 0,002 268 857 958 4 × 2 = 0 + 0,004 537 715 916 8;
  • 48) 0,004 537 715 916 8 × 2 = 0 + 0,009 075 431 833 6;
  • 49) 0,009 075 431 833 6 × 2 = 0 + 0,018 150 863 667 2;
  • 50) 0,018 150 863 667 2 × 2 = 0 + 0,036 301 727 334 4;
  • 51) 0,036 301 727 334 4 × 2 = 0 + 0,072 603 454 668 8;
  • 52) 0,072 603 454 668 8 × 2 = 0 + 0,145 206 909 337 6;
  • 53) 0,145 206 909 337 6 × 2 = 0 + 0,290 413 818 675 2;
  • 54) 0,290 413 818 675 2 × 2 = 0 + 0,580 827 637 350 4;
  • 55) 0,580 827 637 350 4 × 2 = 1 + 0,161 655 274 700 8;
  • 56) 0,161 655 274 700 8 × 2 = 0 + 0,323 310 549 401 6;
  • 57) 0,323 310 549 401 6 × 2 = 0 + 0,646 621 098 803 2;
  • 58) 0,646 621 098 803 2 × 2 = 1 + 0,293 242 197 606 4;
  • 59) 0,293 242 197 606 4 × 2 = 0 + 0,586 484 395 212 8;
  • 60) 0,586 484 395 212 8 × 2 = 1 + 0,172 968 790 425 6;
  • 61) 0,172 968 790 425 6 × 2 = 0 + 0,345 937 580 851 2;
  • 62) 0,345 937 580 851 2 × 2 = 0 + 0,691 875 161 702 4;
  • 63) 0,691 875 161 702 4 × 2 = 1 + 0,383 750 323 404 8;
  • 64) 0,383 750 323 404 8 × 2 = 0 + 0,767 500 646 809 6;
  • 65) 0,767 500 646 809 6 × 2 = 1 + 0,535 001 293 619 2;
  • 66) 0,535 001 293 619 2 × 2 = 1 + 0,070 002 587 238 4;
  • 67) 0,070 002 587 238 4 × 2 = 0 + 0,140 005 174 476 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 834 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0011 0001 1000 0000 0010 0101 0010 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 834 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0011 0001 1000 0000 0010 0101 0010 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 834 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0011 0001 1000 0000 0010 0101 0010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0011 0001 1000 0000 0010 0101 0010 110(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110 =

0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110


Numărul zecimal -0,000 035 666 834 35 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0001 1000 1100 0000 0001 0010 1001 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 834 51 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100