-0,000 035 666 835 262 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 262(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 262(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 262| = 0,000 035 666 835 262


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 262.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 262 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 524;
  • 2) 0,000 071 333 670 524 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 048;
  • 3) 0,000 142 667 341 048 × 2 = 0 + 0,000 285 334 682 096;
  • 4) 0,000 285 334 682 096 × 2 = 0 + 0,000 570 669 364 192;
  • 5) 0,000 570 669 364 192 × 2 = 0 + 0,001 141 338 728 384;
  • 6) 0,001 141 338 728 384 × 2 = 0 + 0,002 282 677 456 768;
  • 7) 0,002 282 677 456 768 × 2 = 0 + 0,004 565 354 913 536;
  • 8) 0,004 565 354 913 536 × 2 = 0 + 0,009 130 709 827 072;
  • 9) 0,009 130 709 827 072 × 2 = 0 + 0,018 261 419 654 144;
  • 10) 0,018 261 419 654 144 × 2 = 0 + 0,036 522 839 308 288;
  • 11) 0,036 522 839 308 288 × 2 = 0 + 0,073 045 678 616 576;
  • 12) 0,073 045 678 616 576 × 2 = 0 + 0,146 091 357 233 152;
  • 13) 0,146 091 357 233 152 × 2 = 0 + 0,292 182 714 466 304;
  • 14) 0,292 182 714 466 304 × 2 = 0 + 0,584 365 428 932 608;
  • 15) 0,584 365 428 932 608 × 2 = 1 + 0,168 730 857 865 216;
  • 16) 0,168 730 857 865 216 × 2 = 0 + 0,337 461 715 730 432;
  • 17) 0,337 461 715 730 432 × 2 = 0 + 0,674 923 431 460 864;
  • 18) 0,674 923 431 460 864 × 2 = 1 + 0,349 846 862 921 728;
  • 19) 0,349 846 862 921 728 × 2 = 0 + 0,699 693 725 843 456;
  • 20) 0,699 693 725 843 456 × 2 = 1 + 0,399 387 451 686 912;
  • 21) 0,399 387 451 686 912 × 2 = 0 + 0,798 774 903 373 824;
  • 22) 0,798 774 903 373 824 × 2 = 1 + 0,597 549 806 747 648;
  • 23) 0,597 549 806 747 648 × 2 = 1 + 0,195 099 613 495 296;
  • 24) 0,195 099 613 495 296 × 2 = 0 + 0,390 199 226 990 592;
  • 25) 0,390 199 226 990 592 × 2 = 0 + 0,780 398 453 981 184;
  • 26) 0,780 398 453 981 184 × 2 = 1 + 0,560 796 907 962 368;
  • 27) 0,560 796 907 962 368 × 2 = 1 + 0,121 593 815 924 736;
  • 28) 0,121 593 815 924 736 × 2 = 0 + 0,243 187 631 849 472;
  • 29) 0,243 187 631 849 472 × 2 = 0 + 0,486 375 263 698 944;
  • 30) 0,486 375 263 698 944 × 2 = 0 + 0,972 750 527 397 888;
  • 31) 0,972 750 527 397 888 × 2 = 1 + 0,945 501 054 795 776;
  • 32) 0,945 501 054 795 776 × 2 = 1 + 0,891 002 109 591 552;
  • 33) 0,891 002 109 591 552 × 2 = 1 + 0,782 004 219 183 104;
  • 34) 0,782 004 219 183 104 × 2 = 1 + 0,564 008 438 366 208;
  • 35) 0,564 008 438 366 208 × 2 = 1 + 0,128 016 876 732 416;
  • 36) 0,128 016 876 732 416 × 2 = 0 + 0,256 033 753 464 832;
  • 37) 0,256 033 753 464 832 × 2 = 0 + 0,512 067 506 929 664;
  • 38) 0,512 067 506 929 664 × 2 = 1 + 0,024 135 013 859 328;
  • 39) 0,024 135 013 859 328 × 2 = 0 + 0,048 270 027 718 656;
  • 40) 0,048 270 027 718 656 × 2 = 0 + 0,096 540 055 437 312;
  • 41) 0,096 540 055 437 312 × 2 = 0 + 0,193 080 110 874 624;
  • 42) 0,193 080 110 874 624 × 2 = 0 + 0,386 160 221 749 248;
  • 43) 0,386 160 221 749 248 × 2 = 0 + 0,772 320 443 498 496;
  • 44) 0,772 320 443 498 496 × 2 = 1 + 0,544 640 886 996 992;
  • 45) 0,544 640 886 996 992 × 2 = 1 + 0,089 281 773 993 984;
  • 46) 0,089 281 773 993 984 × 2 = 0 + 0,178 563 547 987 968;
  • 47) 0,178 563 547 987 968 × 2 = 0 + 0,357 127 095 975 936;
  • 48) 0,357 127 095 975 936 × 2 = 0 + 0,714 254 191 951 872;
  • 49) 0,714 254 191 951 872 × 2 = 1 + 0,428 508 383 903 744;
  • 50) 0,428 508 383 903 744 × 2 = 0 + 0,857 016 767 807 488;
  • 51) 0,857 016 767 807 488 × 2 = 1 + 0,714 033 535 614 976;
  • 52) 0,714 033 535 614 976 × 2 = 1 + 0,428 067 071 229 952;
  • 53) 0,428 067 071 229 952 × 2 = 0 + 0,856 134 142 459 904;
  • 54) 0,856 134 142 459 904 × 2 = 1 + 0,712 268 284 919 808;
  • 55) 0,712 268 284 919 808 × 2 = 1 + 0,424 536 569 839 616;
  • 56) 0,424 536 569 839 616 × 2 = 0 + 0,849 073 139 679 232;
  • 57) 0,849 073 139 679 232 × 2 = 1 + 0,698 146 279 358 464;
  • 58) 0,698 146 279 358 464 × 2 = 1 + 0,396 292 558 716 928;
  • 59) 0,396 292 558 716 928 × 2 = 0 + 0,792 585 117 433 856;
  • 60) 0,792 585 117 433 856 × 2 = 1 + 0,585 170 234 867 712;
  • 61) 0,585 170 234 867 712 × 2 = 1 + 0,170 340 469 735 424;
  • 62) 0,170 340 469 735 424 × 2 = 0 + 0,340 680 939 470 848;
  • 63) 0,340 680 939 470 848 × 2 = 0 + 0,681 361 878 941 696;
  • 64) 0,681 361 878 941 696 × 2 = 1 + 0,362 723 757 883 392;
  • 65) 0,362 723 757 883 392 × 2 = 0 + 0,725 447 515 766 784;
  • 66) 0,725 447 515 766 784 × 2 = 1 + 0,450 895 031 533 568;
  • 67) 0,450 895 031 533 568 × 2 = 0 + 0,901 790 063 067 136;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 262(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 1000 1011 0110 1101 1001 010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 262(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 1000 1011 0110 1101 1001 010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 262(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 1000 1011 0110 1101 1001 010(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0001 1000 1011 0110 1101 1001 010(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 262 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0000 1100 0101 1011 0110 1100 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 361 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100