-0,000 035 666 835 35 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 35(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 35(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 35| = 0,000 035 666 835 35


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 35.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 35 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 7;
  • 2) 0,000 071 333 670 7 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 4;
  • 3) 0,000 142 667 341 4 × 2 = 0 + 0,000 285 334 682 8;
  • 4) 0,000 285 334 682 8 × 2 = 0 + 0,000 570 669 365 6;
  • 5) 0,000 570 669 365 6 × 2 = 0 + 0,001 141 338 731 2;
  • 6) 0,001 141 338 731 2 × 2 = 0 + 0,002 282 677 462 4;
  • 7) 0,002 282 677 462 4 × 2 = 0 + 0,004 565 354 924 8;
  • 8) 0,004 565 354 924 8 × 2 = 0 + 0,009 130 709 849 6;
  • 9) 0,009 130 709 849 6 × 2 = 0 + 0,018 261 419 699 2;
  • 10) 0,018 261 419 699 2 × 2 = 0 + 0,036 522 839 398 4;
  • 11) 0,036 522 839 398 4 × 2 = 0 + 0,073 045 678 796 8;
  • 12) 0,073 045 678 796 8 × 2 = 0 + 0,146 091 357 593 6;
  • 13) 0,146 091 357 593 6 × 2 = 0 + 0,292 182 715 187 2;
  • 14) 0,292 182 715 187 2 × 2 = 0 + 0,584 365 430 374 4;
  • 15) 0,584 365 430 374 4 × 2 = 1 + 0,168 730 860 748 8;
  • 16) 0,168 730 860 748 8 × 2 = 0 + 0,337 461 721 497 6;
  • 17) 0,337 461 721 497 6 × 2 = 0 + 0,674 923 442 995 2;
  • 18) 0,674 923 442 995 2 × 2 = 1 + 0,349 846 885 990 4;
  • 19) 0,349 846 885 990 4 × 2 = 0 + 0,699 693 771 980 8;
  • 20) 0,699 693 771 980 8 × 2 = 1 + 0,399 387 543 961 6;
  • 21) 0,399 387 543 961 6 × 2 = 0 + 0,798 775 087 923 2;
  • 22) 0,798 775 087 923 2 × 2 = 1 + 0,597 550 175 846 4;
  • 23) 0,597 550 175 846 4 × 2 = 1 + 0,195 100 351 692 8;
  • 24) 0,195 100 351 692 8 × 2 = 0 + 0,390 200 703 385 6;
  • 25) 0,390 200 703 385 6 × 2 = 0 + 0,780 401 406 771 2;
  • 26) 0,780 401 406 771 2 × 2 = 1 + 0,560 802 813 542 4;
  • 27) 0,560 802 813 542 4 × 2 = 1 + 0,121 605 627 084 8;
  • 28) 0,121 605 627 084 8 × 2 = 0 + 0,243 211 254 169 6;
  • 29) 0,243 211 254 169 6 × 2 = 0 + 0,486 422 508 339 2;
  • 30) 0,486 422 508 339 2 × 2 = 0 + 0,972 845 016 678 4;
  • 31) 0,972 845 016 678 4 × 2 = 1 + 0,945 690 033 356 8;
  • 32) 0,945 690 033 356 8 × 2 = 1 + 0,891 380 066 713 6;
  • 33) 0,891 380 066 713 6 × 2 = 1 + 0,782 760 133 427 2;
  • 34) 0,782 760 133 427 2 × 2 = 1 + 0,565 520 266 854 4;
  • 35) 0,565 520 266 854 4 × 2 = 1 + 0,131 040 533 708 8;
  • 36) 0,131 040 533 708 8 × 2 = 0 + 0,262 081 067 417 6;
  • 37) 0,262 081 067 417 6 × 2 = 0 + 0,524 162 134 835 2;
  • 38) 0,524 162 134 835 2 × 2 = 1 + 0,048 324 269 670 4;
  • 39) 0,048 324 269 670 4 × 2 = 0 + 0,096 648 539 340 8;
  • 40) 0,096 648 539 340 8 × 2 = 0 + 0,193 297 078 681 6;
  • 41) 0,193 297 078 681 6 × 2 = 0 + 0,386 594 157 363 2;
  • 42) 0,386 594 157 363 2 × 2 = 0 + 0,773 188 314 726 4;
  • 43) 0,773 188 314 726 4 × 2 = 1 + 0,546 376 629 452 8;
  • 44) 0,546 376 629 452 8 × 2 = 1 + 0,092 753 258 905 6;
  • 45) 0,092 753 258 905 6 × 2 = 0 + 0,185 506 517 811 2;
  • 46) 0,185 506 517 811 2 × 2 = 0 + 0,371 013 035 622 4;
  • 47) 0,371 013 035 622 4 × 2 = 0 + 0,742 026 071 244 8;
  • 48) 0,742 026 071 244 8 × 2 = 1 + 0,484 052 142 489 6;
  • 49) 0,484 052 142 489 6 × 2 = 0 + 0,968 104 284 979 2;
  • 50) 0,968 104 284 979 2 × 2 = 1 + 0,936 208 569 958 4;
  • 51) 0,936 208 569 958 4 × 2 = 1 + 0,872 417 139 916 8;
  • 52) 0,872 417 139 916 8 × 2 = 1 + 0,744 834 279 833 6;
  • 53) 0,744 834 279 833 6 × 2 = 1 + 0,489 668 559 667 2;
  • 54) 0,489 668 559 667 2 × 2 = 0 + 0,979 337 119 334 4;
  • 55) 0,979 337 119 334 4 × 2 = 1 + 0,958 674 238 668 8;
  • 56) 0,958 674 238 668 8 × 2 = 1 + 0,917 348 477 337 6;
  • 57) 0,917 348 477 337 6 × 2 = 1 + 0,834 696 954 675 2;
  • 58) 0,834 696 954 675 2 × 2 = 1 + 0,669 393 909 350 4;
  • 59) 0,669 393 909 350 4 × 2 = 1 + 0,338 787 818 700 8;
  • 60) 0,338 787 818 700 8 × 2 = 0 + 0,677 575 637 401 6;
  • 61) 0,677 575 637 401 6 × 2 = 1 + 0,355 151 274 803 2;
  • 62) 0,355 151 274 803 2 × 2 = 0 + 0,710 302 549 606 4;
  • 63) 0,710 302 549 606 4 × 2 = 1 + 0,420 605 099 212 8;
  • 64) 0,420 605 099 212 8 × 2 = 0 + 0,841 210 198 425 6;
  • 65) 0,841 210 198 425 6 × 2 = 1 + 0,682 420 396 851 2;
  • 66) 0,682 420 396 851 2 × 2 = 1 + 0,364 840 793 702 4;
  • 67) 0,364 840 793 702 4 × 2 = 0 + 0,729 681 587 404 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0011 0001 0111 1011 1110 1010 110(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0011 0001 0111 1011 1110 1010 110(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 35(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0011 0001 0111 1011 1110 1010 110(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0011 0001 0111 1011 1110 1010 110(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 35 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0001 1000 1011 1101 1111 0101 0110

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 836 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100