-0,000 035 666 835 431 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 431(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 431(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 431| = 0,000 035 666 835 431


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 431.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 431 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 862;
  • 2) 0,000 071 333 670 862 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 724;
  • 3) 0,000 142 667 341 724 × 2 = 0 + 0,000 285 334 683 448;
  • 4) 0,000 285 334 683 448 × 2 = 0 + 0,000 570 669 366 896;
  • 5) 0,000 570 669 366 896 × 2 = 0 + 0,001 141 338 733 792;
  • 6) 0,001 141 338 733 792 × 2 = 0 + 0,002 282 677 467 584;
  • 7) 0,002 282 677 467 584 × 2 = 0 + 0,004 565 354 935 168;
  • 8) 0,004 565 354 935 168 × 2 = 0 + 0,009 130 709 870 336;
  • 9) 0,009 130 709 870 336 × 2 = 0 + 0,018 261 419 740 672;
  • 10) 0,018 261 419 740 672 × 2 = 0 + 0,036 522 839 481 344;
  • 11) 0,036 522 839 481 344 × 2 = 0 + 0,073 045 678 962 688;
  • 12) 0,073 045 678 962 688 × 2 = 0 + 0,146 091 357 925 376;
  • 13) 0,146 091 357 925 376 × 2 = 0 + 0,292 182 715 850 752;
  • 14) 0,292 182 715 850 752 × 2 = 0 + 0,584 365 431 701 504;
  • 15) 0,584 365 431 701 504 × 2 = 1 + 0,168 730 863 403 008;
  • 16) 0,168 730 863 403 008 × 2 = 0 + 0,337 461 726 806 016;
  • 17) 0,337 461 726 806 016 × 2 = 0 + 0,674 923 453 612 032;
  • 18) 0,674 923 453 612 032 × 2 = 1 + 0,349 846 907 224 064;
  • 19) 0,349 846 907 224 064 × 2 = 0 + 0,699 693 814 448 128;
  • 20) 0,699 693 814 448 128 × 2 = 1 + 0,399 387 628 896 256;
  • 21) 0,399 387 628 896 256 × 2 = 0 + 0,798 775 257 792 512;
  • 22) 0,798 775 257 792 512 × 2 = 1 + 0,597 550 515 585 024;
  • 23) 0,597 550 515 585 024 × 2 = 1 + 0,195 101 031 170 048;
  • 24) 0,195 101 031 170 048 × 2 = 0 + 0,390 202 062 340 096;
  • 25) 0,390 202 062 340 096 × 2 = 0 + 0,780 404 124 680 192;
  • 26) 0,780 404 124 680 192 × 2 = 1 + 0,560 808 249 360 384;
  • 27) 0,560 808 249 360 384 × 2 = 1 + 0,121 616 498 720 768;
  • 28) 0,121 616 498 720 768 × 2 = 0 + 0,243 232 997 441 536;
  • 29) 0,243 232 997 441 536 × 2 = 0 + 0,486 465 994 883 072;
  • 30) 0,486 465 994 883 072 × 2 = 0 + 0,972 931 989 766 144;
  • 31) 0,972 931 989 766 144 × 2 = 1 + 0,945 863 979 532 288;
  • 32) 0,945 863 979 532 288 × 2 = 1 + 0,891 727 959 064 576;
  • 33) 0,891 727 959 064 576 × 2 = 1 + 0,783 455 918 129 152;
  • 34) 0,783 455 918 129 152 × 2 = 1 + 0,566 911 836 258 304;
  • 35) 0,566 911 836 258 304 × 2 = 1 + 0,133 823 672 516 608;
  • 36) 0,133 823 672 516 608 × 2 = 0 + 0,267 647 345 033 216;
  • 37) 0,267 647 345 033 216 × 2 = 0 + 0,535 294 690 066 432;
  • 38) 0,535 294 690 066 432 × 2 = 1 + 0,070 589 380 132 864;
  • 39) 0,070 589 380 132 864 × 2 = 0 + 0,141 178 760 265 728;
  • 40) 0,141 178 760 265 728 × 2 = 0 + 0,282 357 520 531 456;
  • 41) 0,282 357 520 531 456 × 2 = 0 + 0,564 715 041 062 912;
  • 42) 0,564 715 041 062 912 × 2 = 1 + 0,129 430 082 125 824;
  • 43) 0,129 430 082 125 824 × 2 = 0 + 0,258 860 164 251 648;
  • 44) 0,258 860 164 251 648 × 2 = 0 + 0,517 720 328 503 296;
  • 45) 0,517 720 328 503 296 × 2 = 1 + 0,035 440 657 006 592;
  • 46) 0,035 440 657 006 592 × 2 = 0 + 0,070 881 314 013 184;
  • 47) 0,070 881 314 013 184 × 2 = 0 + 0,141 762 628 026 368;
  • 48) 0,141 762 628 026 368 × 2 = 0 + 0,283 525 256 052 736;
  • 49) 0,283 525 256 052 736 × 2 = 0 + 0,567 050 512 105 472;
  • 50) 0,567 050 512 105 472 × 2 = 1 + 0,134 101 024 210 944;
  • 51) 0,134 101 024 210 944 × 2 = 0 + 0,268 202 048 421 888;
  • 52) 0,268 202 048 421 888 × 2 = 0 + 0,536 404 096 843 776;
  • 53) 0,536 404 096 843 776 × 2 = 1 + 0,072 808 193 687 552;
  • 54) 0,072 808 193 687 552 × 2 = 0 + 0,145 616 387 375 104;
  • 55) 0,145 616 387 375 104 × 2 = 0 + 0,291 232 774 750 208;
  • 56) 0,291 232 774 750 208 × 2 = 0 + 0,582 465 549 500 416;
  • 57) 0,582 465 549 500 416 × 2 = 1 + 0,164 931 099 000 832;
  • 58) 0,164 931 099 000 832 × 2 = 0 + 0,329 862 198 001 664;
  • 59) 0,329 862 198 001 664 × 2 = 0 + 0,659 724 396 003 328;
  • 60) 0,659 724 396 003 328 × 2 = 1 + 0,319 448 792 006 656;
  • 61) 0,319 448 792 006 656 × 2 = 0 + 0,638 897 584 013 312;
  • 62) 0,638 897 584 013 312 × 2 = 1 + 0,277 795 168 026 624;
  • 63) 0,277 795 168 026 624 × 2 = 0 + 0,555 590 336 053 248;
  • 64) 0,555 590 336 053 248 × 2 = 1 + 0,111 180 672 106 496;
  • 65) 0,111 180 672 106 496 × 2 = 0 + 0,222 361 344 212 992;
  • 66) 0,222 361 344 212 992 × 2 = 0 + 0,444 722 688 425 984;
  • 67) 0,444 722 688 425 984 × 2 = 0 + 0,889 445 376 851 968;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 431(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1000 0100 1000 1001 0101 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 431(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1000 0100 1000 1001 0101 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 431(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1000 0100 1000 1001 0101 000(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1000 0100 1000 1001 0101 000(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 431 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0100 0010 0100 0100 1010 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 415 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100