-0,000 035 666 835 439 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 835 439(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 835 439(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 835 439| = 0,000 035 666 835 439


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 835 439.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 835 439 × 2 = 0 + 0,000 071 333 670 878;
  • 2) 0,000 071 333 670 878 × 2 = 0 + 0,000 142 667 341 756;
  • 3) 0,000 142 667 341 756 × 2 = 0 + 0,000 285 334 683 512;
  • 4) 0,000 285 334 683 512 × 2 = 0 + 0,000 570 669 367 024;
  • 5) 0,000 570 669 367 024 × 2 = 0 + 0,001 141 338 734 048;
  • 6) 0,001 141 338 734 048 × 2 = 0 + 0,002 282 677 468 096;
  • 7) 0,002 282 677 468 096 × 2 = 0 + 0,004 565 354 936 192;
  • 8) 0,004 565 354 936 192 × 2 = 0 + 0,009 130 709 872 384;
  • 9) 0,009 130 709 872 384 × 2 = 0 + 0,018 261 419 744 768;
  • 10) 0,018 261 419 744 768 × 2 = 0 + 0,036 522 839 489 536;
  • 11) 0,036 522 839 489 536 × 2 = 0 + 0,073 045 678 979 072;
  • 12) 0,073 045 678 979 072 × 2 = 0 + 0,146 091 357 958 144;
  • 13) 0,146 091 357 958 144 × 2 = 0 + 0,292 182 715 916 288;
  • 14) 0,292 182 715 916 288 × 2 = 0 + 0,584 365 431 832 576;
  • 15) 0,584 365 431 832 576 × 2 = 1 + 0,168 730 863 665 152;
  • 16) 0,168 730 863 665 152 × 2 = 0 + 0,337 461 727 330 304;
  • 17) 0,337 461 727 330 304 × 2 = 0 + 0,674 923 454 660 608;
  • 18) 0,674 923 454 660 608 × 2 = 1 + 0,349 846 909 321 216;
  • 19) 0,349 846 909 321 216 × 2 = 0 + 0,699 693 818 642 432;
  • 20) 0,699 693 818 642 432 × 2 = 1 + 0,399 387 637 284 864;
  • 21) 0,399 387 637 284 864 × 2 = 0 + 0,798 775 274 569 728;
  • 22) 0,798 775 274 569 728 × 2 = 1 + 0,597 550 549 139 456;
  • 23) 0,597 550 549 139 456 × 2 = 1 + 0,195 101 098 278 912;
  • 24) 0,195 101 098 278 912 × 2 = 0 + 0,390 202 196 557 824;
  • 25) 0,390 202 196 557 824 × 2 = 0 + 0,780 404 393 115 648;
  • 26) 0,780 404 393 115 648 × 2 = 1 + 0,560 808 786 231 296;
  • 27) 0,560 808 786 231 296 × 2 = 1 + 0,121 617 572 462 592;
  • 28) 0,121 617 572 462 592 × 2 = 0 + 0,243 235 144 925 184;
  • 29) 0,243 235 144 925 184 × 2 = 0 + 0,486 470 289 850 368;
  • 30) 0,486 470 289 850 368 × 2 = 0 + 0,972 940 579 700 736;
  • 31) 0,972 940 579 700 736 × 2 = 1 + 0,945 881 159 401 472;
  • 32) 0,945 881 159 401 472 × 2 = 1 + 0,891 762 318 802 944;
  • 33) 0,891 762 318 802 944 × 2 = 1 + 0,783 524 637 605 888;
  • 34) 0,783 524 637 605 888 × 2 = 1 + 0,567 049 275 211 776;
  • 35) 0,567 049 275 211 776 × 2 = 1 + 0,134 098 550 423 552;
  • 36) 0,134 098 550 423 552 × 2 = 0 + 0,268 197 100 847 104;
  • 37) 0,268 197 100 847 104 × 2 = 0 + 0,536 394 201 694 208;
  • 38) 0,536 394 201 694 208 × 2 = 1 + 0,072 788 403 388 416;
  • 39) 0,072 788 403 388 416 × 2 = 0 + 0,145 576 806 776 832;
  • 40) 0,145 576 806 776 832 × 2 = 0 + 0,291 153 613 553 664;
  • 41) 0,291 153 613 553 664 × 2 = 0 + 0,582 307 227 107 328;
  • 42) 0,582 307 227 107 328 × 2 = 1 + 0,164 614 454 214 656;
  • 43) 0,164 614 454 214 656 × 2 = 0 + 0,329 228 908 429 312;
  • 44) 0,329 228 908 429 312 × 2 = 0 + 0,658 457 816 858 624;
  • 45) 0,658 457 816 858 624 × 2 = 1 + 0,316 915 633 717 248;
  • 46) 0,316 915 633 717 248 × 2 = 0 + 0,633 831 267 434 496;
  • 47) 0,633 831 267 434 496 × 2 = 1 + 0,267 662 534 868 992;
  • 48) 0,267 662 534 868 992 × 2 = 0 + 0,535 325 069 737 984;
  • 49) 0,535 325 069 737 984 × 2 = 1 + 0,070 650 139 475 968;
  • 50) 0,070 650 139 475 968 × 2 = 0 + 0,141 300 278 951 936;
  • 51) 0,141 300 278 951 936 × 2 = 0 + 0,282 600 557 903 872;
  • 52) 0,282 600 557 903 872 × 2 = 0 + 0,565 201 115 807 744;
  • 53) 0,565 201 115 807 744 × 2 = 1 + 0,130 402 231 615 488;
  • 54) 0,130 402 231 615 488 × 2 = 0 + 0,260 804 463 230 976;
  • 55) 0,260 804 463 230 976 × 2 = 0 + 0,521 608 926 461 952;
  • 56) 0,521 608 926 461 952 × 2 = 1 + 0,043 217 852 923 904;
  • 57) 0,043 217 852 923 904 × 2 = 0 + 0,086 435 705 847 808;
  • 58) 0,086 435 705 847 808 × 2 = 0 + 0,172 871 411 695 616;
  • 59) 0,172 871 411 695 616 × 2 = 0 + 0,345 742 823 391 232;
  • 60) 0,345 742 823 391 232 × 2 = 0 + 0,691 485 646 782 464;
  • 61) 0,691 485 646 782 464 × 2 = 1 + 0,382 971 293 564 928;
  • 62) 0,382 971 293 564 928 × 2 = 0 + 0,765 942 587 129 856;
  • 63) 0,765 942 587 129 856 × 2 = 1 + 0,531 885 174 259 712;
  • 64) 0,531 885 174 259 712 × 2 = 1 + 0,063 770 348 519 424;
  • 65) 0,063 770 348 519 424 × 2 = 0 + 0,127 540 697 038 848;
  • 66) 0,127 540 697 038 848 × 2 = 0 + 0,255 081 394 077 696;
  • 67) 0,255 081 394 077 696 × 2 = 0 + 0,510 162 788 155 392;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 835 439(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1010 1000 1001 0000 1011 000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 835 439(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1010 1000 1001 0000 1011 000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 835 439(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1010 1000 1001 0000 1011 000(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1110 0100 0100 1010 1000 1001 0000 1011 000(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000 =

0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000


Numărul zecimal -0,000 035 666 835 439 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 0010 0010 0101 0100 0100 1000 0101 1000

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 835 386 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100