-0,000 035 666 846 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 846 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 846 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 846 9| = 0,000 035 666 846 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 846 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 846 9 × 2 = 0 + 0,000 071 333 693 8;
  • 2) 0,000 071 333 693 8 × 2 = 0 + 0,000 142 667 387 6;
  • 3) 0,000 142 667 387 6 × 2 = 0 + 0,000 285 334 775 2;
  • 4) 0,000 285 334 775 2 × 2 = 0 + 0,000 570 669 550 4;
  • 5) 0,000 570 669 550 4 × 2 = 0 + 0,001 141 339 100 8;
  • 6) 0,001 141 339 100 8 × 2 = 0 + 0,002 282 678 201 6;
  • 7) 0,002 282 678 201 6 × 2 = 0 + 0,004 565 356 403 2;
  • 8) 0,004 565 356 403 2 × 2 = 0 + 0,009 130 712 806 4;
  • 9) 0,009 130 712 806 4 × 2 = 0 + 0,018 261 425 612 8;
  • 10) 0,018 261 425 612 8 × 2 = 0 + 0,036 522 851 225 6;
  • 11) 0,036 522 851 225 6 × 2 = 0 + 0,073 045 702 451 2;
  • 12) 0,073 045 702 451 2 × 2 = 0 + 0,146 091 404 902 4;
  • 13) 0,146 091 404 902 4 × 2 = 0 + 0,292 182 809 804 8;
  • 14) 0,292 182 809 804 8 × 2 = 0 + 0,584 365 619 609 6;
  • 15) 0,584 365 619 609 6 × 2 = 1 + 0,168 731 239 219 2;
  • 16) 0,168 731 239 219 2 × 2 = 0 + 0,337 462 478 438 4;
  • 17) 0,337 462 478 438 4 × 2 = 0 + 0,674 924 956 876 8;
  • 18) 0,674 924 956 876 8 × 2 = 1 + 0,349 849 913 753 6;
  • 19) 0,349 849 913 753 6 × 2 = 0 + 0,699 699 827 507 2;
  • 20) 0,699 699 827 507 2 × 2 = 1 + 0,399 399 655 014 4;
  • 21) 0,399 399 655 014 4 × 2 = 0 + 0,798 799 310 028 8;
  • 22) 0,798 799 310 028 8 × 2 = 1 + 0,597 598 620 057 6;
  • 23) 0,597 598 620 057 6 × 2 = 1 + 0,195 197 240 115 2;
  • 24) 0,195 197 240 115 2 × 2 = 0 + 0,390 394 480 230 4;
  • 25) 0,390 394 480 230 4 × 2 = 0 + 0,780 788 960 460 8;
  • 26) 0,780 788 960 460 8 × 2 = 1 + 0,561 577 920 921 6;
  • 27) 0,561 577 920 921 6 × 2 = 1 + 0,123 155 841 843 2;
  • 28) 0,123 155 841 843 2 × 2 = 0 + 0,246 311 683 686 4;
  • 29) 0,246 311 683 686 4 × 2 = 0 + 0,492 623 367 372 8;
  • 30) 0,492 623 367 372 8 × 2 = 0 + 0,985 246 734 745 6;
  • 31) 0,985 246 734 745 6 × 2 = 1 + 0,970 493 469 491 2;
  • 32) 0,970 493 469 491 2 × 2 = 1 + 0,940 986 938 982 4;
  • 33) 0,940 986 938 982 4 × 2 = 1 + 0,881 973 877 964 8;
  • 34) 0,881 973 877 964 8 × 2 = 1 + 0,763 947 755 929 6;
  • 35) 0,763 947 755 929 6 × 2 = 1 + 0,527 895 511 859 2;
  • 36) 0,527 895 511 859 2 × 2 = 1 + 0,055 791 023 718 4;
  • 37) 0,055 791 023 718 4 × 2 = 0 + 0,111 582 047 436 8;
  • 38) 0,111 582 047 436 8 × 2 = 0 + 0,223 164 094 873 6;
  • 39) 0,223 164 094 873 6 × 2 = 0 + 0,446 328 189 747 2;
  • 40) 0,446 328 189 747 2 × 2 = 0 + 0,892 656 379 494 4;
  • 41) 0,892 656 379 494 4 × 2 = 1 + 0,785 312 758 988 8;
  • 42) 0,785 312 758 988 8 × 2 = 1 + 0,570 625 517 977 6;
  • 43) 0,570 625 517 977 6 × 2 = 1 + 0,141 251 035 955 2;
  • 44) 0,141 251 035 955 2 × 2 = 0 + 0,282 502 071 910 4;
  • 45) 0,282 502 071 910 4 × 2 = 0 + 0,565 004 143 820 8;
  • 46) 0,565 004 143 820 8 × 2 = 1 + 0,130 008 287 641 6;
  • 47) 0,130 008 287 641 6 × 2 = 0 + 0,260 016 575 283 2;
  • 48) 0,260 016 575 283 2 × 2 = 0 + 0,520 033 150 566 4;
  • 49) 0,520 033 150 566 4 × 2 = 1 + 0,040 066 301 132 8;
  • 50) 0,040 066 301 132 8 × 2 = 0 + 0,080 132 602 265 6;
  • 51) 0,080 132 602 265 6 × 2 = 0 + 0,160 265 204 531 2;
  • 52) 0,160 265 204 531 2 × 2 = 0 + 0,320 530 409 062 4;
  • 53) 0,320 530 409 062 4 × 2 = 0 + 0,641 060 818 124 8;
  • 54) 0,641 060 818 124 8 × 2 = 1 + 0,282 121 636 249 6;
  • 55) 0,282 121 636 249 6 × 2 = 0 + 0,564 243 272 499 2;
  • 56) 0,564 243 272 499 2 × 2 = 1 + 0,128 486 544 998 4;
  • 57) 0,128 486 544 998 4 × 2 = 0 + 0,256 973 089 996 8;
  • 58) 0,256 973 089 996 8 × 2 = 0 + 0,513 946 179 993 6;
  • 59) 0,513 946 179 993 6 × 2 = 1 + 0,027 892 359 987 2;
  • 60) 0,027 892 359 987 2 × 2 = 0 + 0,055 784 719 974 4;
  • 61) 0,055 784 719 974 4 × 2 = 0 + 0,111 569 439 948 8;
  • 62) 0,111 569 439 948 8 × 2 = 0 + 0,223 138 879 897 6;
  • 63) 0,223 138 879 897 6 × 2 = 0 + 0,446 277 759 795 2;
  • 64) 0,446 277 759 795 2 × 2 = 0 + 0,892 555 519 590 4;
  • 65) 0,892 555 519 590 4 × 2 = 1 + 0,785 111 039 180 8;
  • 66) 0,785 111 039 180 8 × 2 = 1 + 0,570 222 078 361 6;
  • 67) 0,570 222 078 361 6 × 2 = 1 + 0,140 444 156 723 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 846 9(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0000 1110 0100 1000 0101 0010 0000 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 846 9(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0000 1110 0100 1000 0101 0010 0000 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 846 9(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0000 1110 0100 1000 0101 0010 0000 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0000 1110 0100 1000 0101 0010 0000 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111 =

0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111


Numărul zecimal -0,000 035 666 846 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 1000 0111 0010 0100 0010 1001 0000 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 849 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100