-0,000 035 666 849 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 849 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 849 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 849 3| = 0,000 035 666 849 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 849 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 849 3 × 2 = 0 + 0,000 071 333 698 6;
  • 2) 0,000 071 333 698 6 × 2 = 0 + 0,000 142 667 397 2;
  • 3) 0,000 142 667 397 2 × 2 = 0 + 0,000 285 334 794 4;
  • 4) 0,000 285 334 794 4 × 2 = 0 + 0,000 570 669 588 8;
  • 5) 0,000 570 669 588 8 × 2 = 0 + 0,001 141 339 177 6;
  • 6) 0,001 141 339 177 6 × 2 = 0 + 0,002 282 678 355 2;
  • 7) 0,002 282 678 355 2 × 2 = 0 + 0,004 565 356 710 4;
  • 8) 0,004 565 356 710 4 × 2 = 0 + 0,009 130 713 420 8;
  • 9) 0,009 130 713 420 8 × 2 = 0 + 0,018 261 426 841 6;
  • 10) 0,018 261 426 841 6 × 2 = 0 + 0,036 522 853 683 2;
  • 11) 0,036 522 853 683 2 × 2 = 0 + 0,073 045 707 366 4;
  • 12) 0,073 045 707 366 4 × 2 = 0 + 0,146 091 414 732 8;
  • 13) 0,146 091 414 732 8 × 2 = 0 + 0,292 182 829 465 6;
  • 14) 0,292 182 829 465 6 × 2 = 0 + 0,584 365 658 931 2;
  • 15) 0,584 365 658 931 2 × 2 = 1 + 0,168 731 317 862 4;
  • 16) 0,168 731 317 862 4 × 2 = 0 + 0,337 462 635 724 8;
  • 17) 0,337 462 635 724 8 × 2 = 0 + 0,674 925 271 449 6;
  • 18) 0,674 925 271 449 6 × 2 = 1 + 0,349 850 542 899 2;
  • 19) 0,349 850 542 899 2 × 2 = 0 + 0,699 701 085 798 4;
  • 20) 0,699 701 085 798 4 × 2 = 1 + 0,399 402 171 596 8;
  • 21) 0,399 402 171 596 8 × 2 = 0 + 0,798 804 343 193 6;
  • 22) 0,798 804 343 193 6 × 2 = 1 + 0,597 608 686 387 2;
  • 23) 0,597 608 686 387 2 × 2 = 1 + 0,195 217 372 774 4;
  • 24) 0,195 217 372 774 4 × 2 = 0 + 0,390 434 745 548 8;
  • 25) 0,390 434 745 548 8 × 2 = 0 + 0,780 869 491 097 6;
  • 26) 0,780 869 491 097 6 × 2 = 1 + 0,561 738 982 195 2;
  • 27) 0,561 738 982 195 2 × 2 = 1 + 0,123 477 964 390 4;
  • 28) 0,123 477 964 390 4 × 2 = 0 + 0,246 955 928 780 8;
  • 29) 0,246 955 928 780 8 × 2 = 0 + 0,493 911 857 561 6;
  • 30) 0,493 911 857 561 6 × 2 = 0 + 0,987 823 715 123 2;
  • 31) 0,987 823 715 123 2 × 2 = 1 + 0,975 647 430 246 4;
  • 32) 0,975 647 430 246 4 × 2 = 1 + 0,951 294 860 492 8;
  • 33) 0,951 294 860 492 8 × 2 = 1 + 0,902 589 720 985 6;
  • 34) 0,902 589 720 985 6 × 2 = 1 + 0,805 179 441 971 2;
  • 35) 0,805 179 441 971 2 × 2 = 1 + 0,610 358 883 942 4;
  • 36) 0,610 358 883 942 4 × 2 = 1 + 0,220 717 767 884 8;
  • 37) 0,220 717 767 884 8 × 2 = 0 + 0,441 435 535 769 6;
  • 38) 0,441 435 535 769 6 × 2 = 0 + 0,882 871 071 539 2;
  • 39) 0,882 871 071 539 2 × 2 = 1 + 0,765 742 143 078 4;
  • 40) 0,765 742 143 078 4 × 2 = 1 + 0,531 484 286 156 8;
  • 41) 0,531 484 286 156 8 × 2 = 1 + 0,062 968 572 313 6;
  • 42) 0,062 968 572 313 6 × 2 = 0 + 0,125 937 144 627 2;
  • 43) 0,125 937 144 627 2 × 2 = 0 + 0,251 874 289 254 4;
  • 44) 0,251 874 289 254 4 × 2 = 0 + 0,503 748 578 508 8;
  • 45) 0,503 748 578 508 8 × 2 = 1 + 0,007 497 157 017 6;
  • 46) 0,007 497 157 017 6 × 2 = 0 + 0,014 994 314 035 2;
  • 47) 0,014 994 314 035 2 × 2 = 0 + 0,029 988 628 070 4;
  • 48) 0,029 988 628 070 4 × 2 = 0 + 0,059 977 256 140 8;
  • 49) 0,059 977 256 140 8 × 2 = 0 + 0,119 954 512 281 6;
  • 50) 0,119 954 512 281 6 × 2 = 0 + 0,239 909 024 563 2;
  • 51) 0,239 909 024 563 2 × 2 = 0 + 0,479 818 049 126 4;
  • 52) 0,479 818 049 126 4 × 2 = 0 + 0,959 636 098 252 8;
  • 53) 0,959 636 098 252 8 × 2 = 1 + 0,919 272 196 505 6;
  • 54) 0,919 272 196 505 6 × 2 = 1 + 0,838 544 393 011 2;
  • 55) 0,838 544 393 011 2 × 2 = 1 + 0,677 088 786 022 4;
  • 56) 0,677 088 786 022 4 × 2 = 1 + 0,354 177 572 044 8;
  • 57) 0,354 177 572 044 8 × 2 = 0 + 0,708 355 144 089 6;
  • 58) 0,708 355 144 089 6 × 2 = 1 + 0,416 710 288 179 2;
  • 59) 0,416 710 288 179 2 × 2 = 0 + 0,833 420 576 358 4;
  • 60) 0,833 420 576 358 4 × 2 = 1 + 0,666 841 152 716 8;
  • 61) 0,666 841 152 716 8 × 2 = 1 + 0,333 682 305 433 6;
  • 62) 0,333 682 305 433 6 × 2 = 0 + 0,667 364 610 867 2;
  • 63) 0,667 364 610 867 2 × 2 = 1 + 0,334 729 221 734 4;
  • 64) 0,334 729 221 734 4 × 2 = 0 + 0,669 458 443 468 8;
  • 65) 0,669 458 443 468 8 × 2 = 1 + 0,338 916 886 937 6;
  • 66) 0,338 916 886 937 6 × 2 = 0 + 0,677 833 773 875 2;
  • 67) 0,677 833 773 875 2 × 2 = 1 + 0,355 667 547 750 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 849 3(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0011 1000 1000 0000 1111 0101 1010 101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 849 3(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0011 1000 1000 0000 1111 0101 1010 101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 849 3(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0011 1000 1000 0000 1111 0101 1010 101(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0011 1111 0011 1000 1000 0000 1111 0101 1010 101(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101 =

0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101


Numărul zecimal -0,000 035 666 849 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0001 1111 1001 1100 0100 0000 0111 1010 1101 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 851 2 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100