-0,000 035 666 873 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 873(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 873(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 873| = 0,000 035 666 873


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 873.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 873 × 2 = 0 + 0,000 071 333 746;
  • 2) 0,000 071 333 746 × 2 = 0 + 0,000 142 667 492;
  • 3) 0,000 142 667 492 × 2 = 0 + 0,000 285 334 984;
  • 4) 0,000 285 334 984 × 2 = 0 + 0,000 570 669 968;
  • 5) 0,000 570 669 968 × 2 = 0 + 0,001 141 339 936;
  • 6) 0,001 141 339 936 × 2 = 0 + 0,002 282 679 872;
  • 7) 0,002 282 679 872 × 2 = 0 + 0,004 565 359 744;
  • 8) 0,004 565 359 744 × 2 = 0 + 0,009 130 719 488;
  • 9) 0,009 130 719 488 × 2 = 0 + 0,018 261 438 976;
  • 10) 0,018 261 438 976 × 2 = 0 + 0,036 522 877 952;
  • 11) 0,036 522 877 952 × 2 = 0 + 0,073 045 755 904;
  • 12) 0,073 045 755 904 × 2 = 0 + 0,146 091 511 808;
  • 13) 0,146 091 511 808 × 2 = 0 + 0,292 183 023 616;
  • 14) 0,292 183 023 616 × 2 = 0 + 0,584 366 047 232;
  • 15) 0,584 366 047 232 × 2 = 1 + 0,168 732 094 464;
  • 16) 0,168 732 094 464 × 2 = 0 + 0,337 464 188 928;
  • 17) 0,337 464 188 928 × 2 = 0 + 0,674 928 377 856;
  • 18) 0,674 928 377 856 × 2 = 1 + 0,349 856 755 712;
  • 19) 0,349 856 755 712 × 2 = 0 + 0,699 713 511 424;
  • 20) 0,699 713 511 424 × 2 = 1 + 0,399 427 022 848;
  • 21) 0,399 427 022 848 × 2 = 0 + 0,798 854 045 696;
  • 22) 0,798 854 045 696 × 2 = 1 + 0,597 708 091 392;
  • 23) 0,597 708 091 392 × 2 = 1 + 0,195 416 182 784;
  • 24) 0,195 416 182 784 × 2 = 0 + 0,390 832 365 568;
  • 25) 0,390 832 365 568 × 2 = 0 + 0,781 664 731 136;
  • 26) 0,781 664 731 136 × 2 = 1 + 0,563 329 462 272;
  • 27) 0,563 329 462 272 × 2 = 1 + 0,126 658 924 544;
  • 28) 0,126 658 924 544 × 2 = 0 + 0,253 317 849 088;
  • 29) 0,253 317 849 088 × 2 = 0 + 0,506 635 698 176;
  • 30) 0,506 635 698 176 × 2 = 1 + 0,013 271 396 352;
  • 31) 0,013 271 396 352 × 2 = 0 + 0,026 542 792 704;
  • 32) 0,026 542 792 704 × 2 = 0 + 0,053 085 585 408;
  • 33) 0,053 085 585 408 × 2 = 0 + 0,106 171 170 816;
  • 34) 0,106 171 170 816 × 2 = 0 + 0,212 342 341 632;
  • 35) 0,212 342 341 632 × 2 = 0 + 0,424 684 683 264;
  • 36) 0,424 684 683 264 × 2 = 0 + 0,849 369 366 528;
  • 37) 0,849 369 366 528 × 2 = 1 + 0,698 738 733 056;
  • 38) 0,698 738 733 056 × 2 = 1 + 0,397 477 466 112;
  • 39) 0,397 477 466 112 × 2 = 0 + 0,794 954 932 224;
  • 40) 0,794 954 932 224 × 2 = 1 + 0,589 909 864 448;
  • 41) 0,589 909 864 448 × 2 = 1 + 0,179 819 728 896;
  • 42) 0,179 819 728 896 × 2 = 0 + 0,359 639 457 792;
  • 43) 0,359 639 457 792 × 2 = 0 + 0,719 278 915 584;
  • 44) 0,719 278 915 584 × 2 = 1 + 0,438 557 831 168;
  • 45) 0,438 557 831 168 × 2 = 0 + 0,877 115 662 336;
  • 46) 0,877 115 662 336 × 2 = 1 + 0,754 231 324 672;
  • 47) 0,754 231 324 672 × 2 = 1 + 0,508 462 649 344;
  • 48) 0,508 462 649 344 × 2 = 1 + 0,016 925 298 688;
  • 49) 0,016 925 298 688 × 2 = 0 + 0,033 850 597 376;
  • 50) 0,033 850 597 376 × 2 = 0 + 0,067 701 194 752;
  • 51) 0,067 701 194 752 × 2 = 0 + 0,135 402 389 504;
  • 52) 0,135 402 389 504 × 2 = 0 + 0,270 804 779 008;
  • 53) 0,270 804 779 008 × 2 = 0 + 0,541 609 558 016;
  • 54) 0,541 609 558 016 × 2 = 1 + 0,083 219 116 032;
  • 55) 0,083 219 116 032 × 2 = 0 + 0,166 438 232 064;
  • 56) 0,166 438 232 064 × 2 = 0 + 0,332 876 464 128;
  • 57) 0,332 876 464 128 × 2 = 0 + 0,665 752 928 256;
  • 58) 0,665 752 928 256 × 2 = 1 + 0,331 505 856 512;
  • 59) 0,331 505 856 512 × 2 = 0 + 0,663 011 713 024;
  • 60) 0,663 011 713 024 × 2 = 1 + 0,326 023 426 048;
  • 61) 0,326 023 426 048 × 2 = 0 + 0,652 046 852 096;
  • 62) 0,652 046 852 096 × 2 = 1 + 0,304 093 704 192;
  • 63) 0,304 093 704 192 × 2 = 0 + 0,608 187 408 384;
  • 64) 0,608 187 408 384 × 2 = 1 + 0,216 374 816 768;
  • 65) 0,216 374 816 768 × 2 = 0 + 0,432 749 633 536;
  • 66) 0,432 749 633 536 × 2 = 0 + 0,865 499 267 072;
  • 67) 0,865 499 267 072 × 2 = 1 + 0,730 998 534 144;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 873(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0000 1101 1001 0111 0000 0100 0101 0101 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 873(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0000 1101 1001 0111 0000 0100 0101 0101 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 873(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0000 1101 1001 0111 0000 0100 0101 0101 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0000 1101 1001 0111 0000 0100 0101 0101 001(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001 =

0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001


Numărul zecimal -0,000 035 666 873 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0000 0110 1100 1011 1000 0010 0010 1010 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 845 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100