-0,000 035 666 877 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 877(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 877(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 877| = 0,000 035 666 877


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 877.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 877 × 2 = 0 + 0,000 071 333 754;
  • 2) 0,000 071 333 754 × 2 = 0 + 0,000 142 667 508;
  • 3) 0,000 142 667 508 × 2 = 0 + 0,000 285 335 016;
  • 4) 0,000 285 335 016 × 2 = 0 + 0,000 570 670 032;
  • 5) 0,000 570 670 032 × 2 = 0 + 0,001 141 340 064;
  • 6) 0,001 141 340 064 × 2 = 0 + 0,002 282 680 128;
  • 7) 0,002 282 680 128 × 2 = 0 + 0,004 565 360 256;
  • 8) 0,004 565 360 256 × 2 = 0 + 0,009 130 720 512;
  • 9) 0,009 130 720 512 × 2 = 0 + 0,018 261 441 024;
  • 10) 0,018 261 441 024 × 2 = 0 + 0,036 522 882 048;
  • 11) 0,036 522 882 048 × 2 = 0 + 0,073 045 764 096;
  • 12) 0,073 045 764 096 × 2 = 0 + 0,146 091 528 192;
  • 13) 0,146 091 528 192 × 2 = 0 + 0,292 183 056 384;
  • 14) 0,292 183 056 384 × 2 = 0 + 0,584 366 112 768;
  • 15) 0,584 366 112 768 × 2 = 1 + 0,168 732 225 536;
  • 16) 0,168 732 225 536 × 2 = 0 + 0,337 464 451 072;
  • 17) 0,337 464 451 072 × 2 = 0 + 0,674 928 902 144;
  • 18) 0,674 928 902 144 × 2 = 1 + 0,349 857 804 288;
  • 19) 0,349 857 804 288 × 2 = 0 + 0,699 715 608 576;
  • 20) 0,699 715 608 576 × 2 = 1 + 0,399 431 217 152;
  • 21) 0,399 431 217 152 × 2 = 0 + 0,798 862 434 304;
  • 22) 0,798 862 434 304 × 2 = 1 + 0,597 724 868 608;
  • 23) 0,597 724 868 608 × 2 = 1 + 0,195 449 737 216;
  • 24) 0,195 449 737 216 × 2 = 0 + 0,390 899 474 432;
  • 25) 0,390 899 474 432 × 2 = 0 + 0,781 798 948 864;
  • 26) 0,781 798 948 864 × 2 = 1 + 0,563 597 897 728;
  • 27) 0,563 597 897 728 × 2 = 1 + 0,127 195 795 456;
  • 28) 0,127 195 795 456 × 2 = 0 + 0,254 391 590 912;
  • 29) 0,254 391 590 912 × 2 = 0 + 0,508 783 181 824;
  • 30) 0,508 783 181 824 × 2 = 1 + 0,017 566 363 648;
  • 31) 0,017 566 363 648 × 2 = 0 + 0,035 132 727 296;
  • 32) 0,035 132 727 296 × 2 = 0 + 0,070 265 454 592;
  • 33) 0,070 265 454 592 × 2 = 0 + 0,140 530 909 184;
  • 34) 0,140 530 909 184 × 2 = 0 + 0,281 061 818 368;
  • 35) 0,281 061 818 368 × 2 = 0 + 0,562 123 636 736;
  • 36) 0,562 123 636 736 × 2 = 1 + 0,124 247 273 472;
  • 37) 0,124 247 273 472 × 2 = 0 + 0,248 494 546 944;
  • 38) 0,248 494 546 944 × 2 = 0 + 0,496 989 093 888;
  • 39) 0,496 989 093 888 × 2 = 0 + 0,993 978 187 776;
  • 40) 0,993 978 187 776 × 2 = 1 + 0,987 956 375 552;
  • 41) 0,987 956 375 552 × 2 = 1 + 0,975 912 751 104;
  • 42) 0,975 912 751 104 × 2 = 1 + 0,951 825 502 208;
  • 43) 0,951 825 502 208 × 2 = 1 + 0,903 651 004 416;
  • 44) 0,903 651 004 416 × 2 = 1 + 0,807 302 008 832;
  • 45) 0,807 302 008 832 × 2 = 1 + 0,614 604 017 664;
  • 46) 0,614 604 017 664 × 2 = 1 + 0,229 208 035 328;
  • 47) 0,229 208 035 328 × 2 = 0 + 0,458 416 070 656;
  • 48) 0,458 416 070 656 × 2 = 0 + 0,916 832 141 312;
  • 49) 0,916 832 141 312 × 2 = 1 + 0,833 664 282 624;
  • 50) 0,833 664 282 624 × 2 = 1 + 0,667 328 565 248;
  • 51) 0,667 328 565 248 × 2 = 1 + 0,334 657 130 496;
  • 52) 0,334 657 130 496 × 2 = 0 + 0,669 314 260 992;
  • 53) 0,669 314 260 992 × 2 = 1 + 0,338 628 521 984;
  • 54) 0,338 628 521 984 × 2 = 0 + 0,677 257 043 968;
  • 55) 0,677 257 043 968 × 2 = 1 + 0,354 514 087 936;
  • 56) 0,354 514 087 936 × 2 = 0 + 0,709 028 175 872;
  • 57) 0,709 028 175 872 × 2 = 1 + 0,418 056 351 744;
  • 58) 0,418 056 351 744 × 2 = 0 + 0,836 112 703 488;
  • 59) 0,836 112 703 488 × 2 = 1 + 0,672 225 406 976;
  • 60) 0,672 225 406 976 × 2 = 1 + 0,344 450 813 952;
  • 61) 0,344 450 813 952 × 2 = 0 + 0,688 901 627 904;
  • 62) 0,688 901 627 904 × 2 = 1 + 0,377 803 255 808;
  • 63) 0,377 803 255 808 × 2 = 0 + 0,755 606 511 616;
  • 64) 0,755 606 511 616 × 2 = 1 + 0,511 213 023 232;
  • 65) 0,511 213 023 232 × 2 = 1 + 0,022 426 046 464;
  • 66) 0,022 426 046 464 × 2 = 0 + 0,044 852 092 928;
  • 67) 0,044 852 092 928 × 2 = 0 + 0,089 704 185 856;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 877(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0001 0001 1111 1100 1110 1010 1011 0101 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 877(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0001 0001 1111 1100 1110 1010 1011 0101 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 877(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0001 0001 1111 1100 1110 1010 1011 0101 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0001 0001 1111 1100 1110 1010 1011 0101 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100 =

0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100


Numărul zecimal -0,000 035 666 877 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0000 1000 1111 1110 0111 0101 0101 1010 1100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 881 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100