-0,000 035 666 892 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 892(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 892(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 892| = 0,000 035 666 892


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 892.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 892 × 2 = 0 + 0,000 071 333 784;
  • 2) 0,000 071 333 784 × 2 = 0 + 0,000 142 667 568;
  • 3) 0,000 142 667 568 × 2 = 0 + 0,000 285 335 136;
  • 4) 0,000 285 335 136 × 2 = 0 + 0,000 570 670 272;
  • 5) 0,000 570 670 272 × 2 = 0 + 0,001 141 340 544;
  • 6) 0,001 141 340 544 × 2 = 0 + 0,002 282 681 088;
  • 7) 0,002 282 681 088 × 2 = 0 + 0,004 565 362 176;
  • 8) 0,004 565 362 176 × 2 = 0 + 0,009 130 724 352;
  • 9) 0,009 130 724 352 × 2 = 0 + 0,018 261 448 704;
  • 10) 0,018 261 448 704 × 2 = 0 + 0,036 522 897 408;
  • 11) 0,036 522 897 408 × 2 = 0 + 0,073 045 794 816;
  • 12) 0,073 045 794 816 × 2 = 0 + 0,146 091 589 632;
  • 13) 0,146 091 589 632 × 2 = 0 + 0,292 183 179 264;
  • 14) 0,292 183 179 264 × 2 = 0 + 0,584 366 358 528;
  • 15) 0,584 366 358 528 × 2 = 1 + 0,168 732 717 056;
  • 16) 0,168 732 717 056 × 2 = 0 + 0,337 465 434 112;
  • 17) 0,337 465 434 112 × 2 = 0 + 0,674 930 868 224;
  • 18) 0,674 930 868 224 × 2 = 1 + 0,349 861 736 448;
  • 19) 0,349 861 736 448 × 2 = 0 + 0,699 723 472 896;
  • 20) 0,699 723 472 896 × 2 = 1 + 0,399 446 945 792;
  • 21) 0,399 446 945 792 × 2 = 0 + 0,798 893 891 584;
  • 22) 0,798 893 891 584 × 2 = 1 + 0,597 787 783 168;
  • 23) 0,597 787 783 168 × 2 = 1 + 0,195 575 566 336;
  • 24) 0,195 575 566 336 × 2 = 0 + 0,391 151 132 672;
  • 25) 0,391 151 132 672 × 2 = 0 + 0,782 302 265 344;
  • 26) 0,782 302 265 344 × 2 = 1 + 0,564 604 530 688;
  • 27) 0,564 604 530 688 × 2 = 1 + 0,129 209 061 376;
  • 28) 0,129 209 061 376 × 2 = 0 + 0,258 418 122 752;
  • 29) 0,258 418 122 752 × 2 = 0 + 0,516 836 245 504;
  • 30) 0,516 836 245 504 × 2 = 1 + 0,033 672 491 008;
  • 31) 0,033 672 491 008 × 2 = 0 + 0,067 344 982 016;
  • 32) 0,067 344 982 016 × 2 = 0 + 0,134 689 964 032;
  • 33) 0,134 689 964 032 × 2 = 0 + 0,269 379 928 064;
  • 34) 0,269 379 928 064 × 2 = 0 + 0,538 759 856 128;
  • 35) 0,538 759 856 128 × 2 = 1 + 0,077 519 712 256;
  • 36) 0,077 519 712 256 × 2 = 0 + 0,155 039 424 512;
  • 37) 0,155 039 424 512 × 2 = 0 + 0,310 078 849 024;
  • 38) 0,310 078 849 024 × 2 = 0 + 0,620 157 698 048;
  • 39) 0,620 157 698 048 × 2 = 1 + 0,240 315 396 096;
  • 40) 0,240 315 396 096 × 2 = 0 + 0,480 630 792 192;
  • 41) 0,480 630 792 192 × 2 = 0 + 0,961 261 584 384;
  • 42) 0,961 261 584 384 × 2 = 1 + 0,922 523 168 768;
  • 43) 0,922 523 168 768 × 2 = 1 + 0,845 046 337 536;
  • 44) 0,845 046 337 536 × 2 = 1 + 0,690 092 675 072;
  • 45) 0,690 092 675 072 × 2 = 1 + 0,380 185 350 144;
  • 46) 0,380 185 350 144 × 2 = 0 + 0,760 370 700 288;
  • 47) 0,760 370 700 288 × 2 = 1 + 0,520 741 400 576;
  • 48) 0,520 741 400 576 × 2 = 1 + 0,041 482 801 152;
  • 49) 0,041 482 801 152 × 2 = 0 + 0,082 965 602 304;
  • 50) 0,082 965 602 304 × 2 = 0 + 0,165 931 204 608;
  • 51) 0,165 931 204 608 × 2 = 0 + 0,331 862 409 216;
  • 52) 0,331 862 409 216 × 2 = 0 + 0,663 724 818 432;
  • 53) 0,663 724 818 432 × 2 = 1 + 0,327 449 636 864;
  • 54) 0,327 449 636 864 × 2 = 0 + 0,654 899 273 728;
  • 55) 0,654 899 273 728 × 2 = 1 + 0,309 798 547 456;
  • 56) 0,309 798 547 456 × 2 = 0 + 0,619 597 094 912;
  • 57) 0,619 597 094 912 × 2 = 1 + 0,239 194 189 824;
  • 58) 0,239 194 189 824 × 2 = 0 + 0,478 388 379 648;
  • 59) 0,478 388 379 648 × 2 = 0 + 0,956 776 759 296;
  • 60) 0,956 776 759 296 × 2 = 1 + 0,913 553 518 592;
  • 61) 0,913 553 518 592 × 2 = 1 + 0,827 107 037 184;
  • 62) 0,827 107 037 184 × 2 = 1 + 0,654 214 074 368;
  • 63) 0,654 214 074 368 × 2 = 1 + 0,308 428 148 736;
  • 64) 0,308 428 148 736 × 2 = 0 + 0,616 856 297 472;
  • 65) 0,616 856 297 472 × 2 = 1 + 0,233 712 594 944;
  • 66) 0,233 712 594 944 × 2 = 0 + 0,467 425 189 888;
  • 67) 0,467 425 189 888 × 2 = 0 + 0,934 850 379 776;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 892(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0010 0010 0111 1011 0000 1010 1001 1110 100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 892(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0010 0010 0111 1011 0000 1010 1001 1110 100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 892(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0010 0010 0111 1011 0000 1010 1001 1110 100(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0010 0010 0111 1011 0000 1010 1001 1110 100(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100 =

0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100


Numărul zecimal -0,000 035 666 892 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0001 0001 0011 1101 1000 0101 0100 1111 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 912 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100