-0,000 035 666 927 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 927(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 927(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 927| = 0,000 035 666 927


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 927.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 927 × 2 = 0 + 0,000 071 333 854;
  • 2) 0,000 071 333 854 × 2 = 0 + 0,000 142 667 708;
  • 3) 0,000 142 667 708 × 2 = 0 + 0,000 285 335 416;
  • 4) 0,000 285 335 416 × 2 = 0 + 0,000 570 670 832;
  • 5) 0,000 570 670 832 × 2 = 0 + 0,001 141 341 664;
  • 6) 0,001 141 341 664 × 2 = 0 + 0,002 282 683 328;
  • 7) 0,002 282 683 328 × 2 = 0 + 0,004 565 366 656;
  • 8) 0,004 565 366 656 × 2 = 0 + 0,009 130 733 312;
  • 9) 0,009 130 733 312 × 2 = 0 + 0,018 261 466 624;
  • 10) 0,018 261 466 624 × 2 = 0 + 0,036 522 933 248;
  • 11) 0,036 522 933 248 × 2 = 0 + 0,073 045 866 496;
  • 12) 0,073 045 866 496 × 2 = 0 + 0,146 091 732 992;
  • 13) 0,146 091 732 992 × 2 = 0 + 0,292 183 465 984;
  • 14) 0,292 183 465 984 × 2 = 0 + 0,584 366 931 968;
  • 15) 0,584 366 931 968 × 2 = 1 + 0,168 733 863 936;
  • 16) 0,168 733 863 936 × 2 = 0 + 0,337 467 727 872;
  • 17) 0,337 467 727 872 × 2 = 0 + 0,674 935 455 744;
  • 18) 0,674 935 455 744 × 2 = 1 + 0,349 870 911 488;
  • 19) 0,349 870 911 488 × 2 = 0 + 0,699 741 822 976;
  • 20) 0,699 741 822 976 × 2 = 1 + 0,399 483 645 952;
  • 21) 0,399 483 645 952 × 2 = 0 + 0,798 967 291 904;
  • 22) 0,798 967 291 904 × 2 = 1 + 0,597 934 583 808;
  • 23) 0,597 934 583 808 × 2 = 1 + 0,195 869 167 616;
  • 24) 0,195 869 167 616 × 2 = 0 + 0,391 738 335 232;
  • 25) 0,391 738 335 232 × 2 = 0 + 0,783 476 670 464;
  • 26) 0,783 476 670 464 × 2 = 1 + 0,566 953 340 928;
  • 27) 0,566 953 340 928 × 2 = 1 + 0,133 906 681 856;
  • 28) 0,133 906 681 856 × 2 = 0 + 0,267 813 363 712;
  • 29) 0,267 813 363 712 × 2 = 0 + 0,535 626 727 424;
  • 30) 0,535 626 727 424 × 2 = 1 + 0,071 253 454 848;
  • 31) 0,071 253 454 848 × 2 = 0 + 0,142 506 909 696;
  • 32) 0,142 506 909 696 × 2 = 0 + 0,285 013 819 392;
  • 33) 0,285 013 819 392 × 2 = 0 + 0,570 027 638 784;
  • 34) 0,570 027 638 784 × 2 = 1 + 0,140 055 277 568;
  • 35) 0,140 055 277 568 × 2 = 0 + 0,280 110 555 136;
  • 36) 0,280 110 555 136 × 2 = 0 + 0,560 221 110 272;
  • 37) 0,560 221 110 272 × 2 = 1 + 0,120 442 220 544;
  • 38) 0,120 442 220 544 × 2 = 0 + 0,240 884 441 088;
  • 39) 0,240 884 441 088 × 2 = 0 + 0,481 768 882 176;
  • 40) 0,481 768 882 176 × 2 = 0 + 0,963 537 764 352;
  • 41) 0,963 537 764 352 × 2 = 1 + 0,927 075 528 704;
  • 42) 0,927 075 528 704 × 2 = 1 + 0,854 151 057 408;
  • 43) 0,854 151 057 408 × 2 = 1 + 0,708 302 114 816;
  • 44) 0,708 302 114 816 × 2 = 1 + 0,416 604 229 632;
  • 45) 0,416 604 229 632 × 2 = 0 + 0,833 208 459 264;
  • 46) 0,833 208 459 264 × 2 = 1 + 0,666 416 918 528;
  • 47) 0,666 416 918 528 × 2 = 1 + 0,332 833 837 056;
  • 48) 0,332 833 837 056 × 2 = 0 + 0,665 667 674 112;
  • 49) 0,665 667 674 112 × 2 = 1 + 0,331 335 348 224;
  • 50) 0,331 335 348 224 × 2 = 0 + 0,662 670 696 448;
  • 51) 0,662 670 696 448 × 2 = 1 + 0,325 341 392 896;
  • 52) 0,325 341 392 896 × 2 = 0 + 0,650 682 785 792;
  • 53) 0,650 682 785 792 × 2 = 1 + 0,301 365 571 584;
  • 54) 0,301 365 571 584 × 2 = 0 + 0,602 731 143 168;
  • 55) 0,602 731 143 168 × 2 = 1 + 0,205 462 286 336;
  • 56) 0,205 462 286 336 × 2 = 0 + 0,410 924 572 672;
  • 57) 0,410 924 572 672 × 2 = 0 + 0,821 849 145 344;
  • 58) 0,821 849 145 344 × 2 = 1 + 0,643 698 290 688;
  • 59) 0,643 698 290 688 × 2 = 1 + 0,287 396 581 376;
  • 60) 0,287 396 581 376 × 2 = 0 + 0,574 793 162 752;
  • 61) 0,574 793 162 752 × 2 = 1 + 0,149 586 325 504;
  • 62) 0,149 586 325 504 × 2 = 0 + 0,299 172 651 008;
  • 63) 0,299 172 651 008 × 2 = 0 + 0,598 345 302 016;
  • 64) 0,598 345 302 016 × 2 = 1 + 0,196 690 604 032;
  • 65) 0,196 690 604 032 × 2 = 0 + 0,393 381 208 064;
  • 66) 0,393 381 208 064 × 2 = 0 + 0,786 762 416 128;
  • 67) 0,786 762 416 128 × 2 = 1 + 0,573 524 832 256;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 927(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0100 1000 1111 0110 1010 1010 0110 1001 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 927(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0100 1000 1111 0110 1010 1010 0110 1001 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 927(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0100 1000 1111 0110 1010 1010 0110 1001 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0100 1000 1111 0110 1010 1010 0110 1001 001(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001 =

0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001


Numărul zecimal -0,000 035 666 927 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0010 0100 0111 1011 0101 0101 0011 0100 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 965 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100