-0,000 035 666 971 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 971(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 971(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 971| = 0,000 035 666 971


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 971.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 971 × 2 = 0 + 0,000 071 333 942;
  • 2) 0,000 071 333 942 × 2 = 0 + 0,000 142 667 884;
  • 3) 0,000 142 667 884 × 2 = 0 + 0,000 285 335 768;
  • 4) 0,000 285 335 768 × 2 = 0 + 0,000 570 671 536;
  • 5) 0,000 570 671 536 × 2 = 0 + 0,001 141 343 072;
  • 6) 0,001 141 343 072 × 2 = 0 + 0,002 282 686 144;
  • 7) 0,002 282 686 144 × 2 = 0 + 0,004 565 372 288;
  • 8) 0,004 565 372 288 × 2 = 0 + 0,009 130 744 576;
  • 9) 0,009 130 744 576 × 2 = 0 + 0,018 261 489 152;
  • 10) 0,018 261 489 152 × 2 = 0 + 0,036 522 978 304;
  • 11) 0,036 522 978 304 × 2 = 0 + 0,073 045 956 608;
  • 12) 0,073 045 956 608 × 2 = 0 + 0,146 091 913 216;
  • 13) 0,146 091 913 216 × 2 = 0 + 0,292 183 826 432;
  • 14) 0,292 183 826 432 × 2 = 0 + 0,584 367 652 864;
  • 15) 0,584 367 652 864 × 2 = 1 + 0,168 735 305 728;
  • 16) 0,168 735 305 728 × 2 = 0 + 0,337 470 611 456;
  • 17) 0,337 470 611 456 × 2 = 0 + 0,674 941 222 912;
  • 18) 0,674 941 222 912 × 2 = 1 + 0,349 882 445 824;
  • 19) 0,349 882 445 824 × 2 = 0 + 0,699 764 891 648;
  • 20) 0,699 764 891 648 × 2 = 1 + 0,399 529 783 296;
  • 21) 0,399 529 783 296 × 2 = 0 + 0,799 059 566 592;
  • 22) 0,799 059 566 592 × 2 = 1 + 0,598 119 133 184;
  • 23) 0,598 119 133 184 × 2 = 1 + 0,196 238 266 368;
  • 24) 0,196 238 266 368 × 2 = 0 + 0,392 476 532 736;
  • 25) 0,392 476 532 736 × 2 = 0 + 0,784 953 065 472;
  • 26) 0,784 953 065 472 × 2 = 1 + 0,569 906 130 944;
  • 27) 0,569 906 130 944 × 2 = 1 + 0,139 812 261 888;
  • 28) 0,139 812 261 888 × 2 = 0 + 0,279 624 523 776;
  • 29) 0,279 624 523 776 × 2 = 0 + 0,559 249 047 552;
  • 30) 0,559 249 047 552 × 2 = 1 + 0,118 498 095 104;
  • 31) 0,118 498 095 104 × 2 = 0 + 0,236 996 190 208;
  • 32) 0,236 996 190 208 × 2 = 0 + 0,473 992 380 416;
  • 33) 0,473 992 380 416 × 2 = 0 + 0,947 984 760 832;
  • 34) 0,947 984 760 832 × 2 = 1 + 0,895 969 521 664;
  • 35) 0,895 969 521 664 × 2 = 1 + 0,791 939 043 328;
  • 36) 0,791 939 043 328 × 2 = 1 + 0,583 878 086 656;
  • 37) 0,583 878 086 656 × 2 = 1 + 0,167 756 173 312;
  • 38) 0,167 756 173 312 × 2 = 0 + 0,335 512 346 624;
  • 39) 0,335 512 346 624 × 2 = 0 + 0,671 024 693 248;
  • 40) 0,671 024 693 248 × 2 = 1 + 0,342 049 386 496;
  • 41) 0,342 049 386 496 × 2 = 0 + 0,684 098 772 992;
  • 42) 0,684 098 772 992 × 2 = 1 + 0,368 197 545 984;
  • 43) 0,368 197 545 984 × 2 = 0 + 0,736 395 091 968;
  • 44) 0,736 395 091 968 × 2 = 1 + 0,472 790 183 936;
  • 45) 0,472 790 183 936 × 2 = 0 + 0,945 580 367 872;
  • 46) 0,945 580 367 872 × 2 = 1 + 0,891 160 735 744;
  • 47) 0,891 160 735 744 × 2 = 1 + 0,782 321 471 488;
  • 48) 0,782 321 471 488 × 2 = 1 + 0,564 642 942 976;
  • 49) 0,564 642 942 976 × 2 = 1 + 0,129 285 885 952;
  • 50) 0,129 285 885 952 × 2 = 0 + 0,258 571 771 904;
  • 51) 0,258 571 771 904 × 2 = 0 + 0,517 143 543 808;
  • 52) 0,517 143 543 808 × 2 = 1 + 0,034 287 087 616;
  • 53) 0,034 287 087 616 × 2 = 0 + 0,068 574 175 232;
  • 54) 0,068 574 175 232 × 2 = 0 + 0,137 148 350 464;
  • 55) 0,137 148 350 464 × 2 = 0 + 0,274 296 700 928;
  • 56) 0,274 296 700 928 × 2 = 0 + 0,548 593 401 856;
  • 57) 0,548 593 401 856 × 2 = 1 + 0,097 186 803 712;
  • 58) 0,097 186 803 712 × 2 = 0 + 0,194 373 607 424;
  • 59) 0,194 373 607 424 × 2 = 0 + 0,388 747 214 848;
  • 60) 0,388 747 214 848 × 2 = 0 + 0,777 494 429 696;
  • 61) 0,777 494 429 696 × 2 = 1 + 0,554 988 859 392;
  • 62) 0,554 988 859 392 × 2 = 1 + 0,109 977 718 784;
  • 63) 0,109 977 718 784 × 2 = 0 + 0,219 955 437 568;
  • 64) 0,219 955 437 568 × 2 = 0 + 0,439 910 875 136;
  • 65) 0,439 910 875 136 × 2 = 0 + 0,879 821 750 272;
  • 66) 0,879 821 750 272 × 2 = 1 + 0,759 643 500 544;
  • 67) 0,759 643 500 544 × 2 = 1 + 0,519 287 001 088;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 971(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1001 0101 0111 1001 0000 1000 1100 011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 971(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1001 0101 0111 1001 0000 1000 1100 011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 971(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1001 0101 0111 1001 0000 1000 1100 011(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 0111 1001 0101 0111 1001 0000 1000 1100 011(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011 =

0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011


Numărul zecimal -0,000 035 666 971 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0011 1100 1010 1011 1100 1000 0100 0110 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 914 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100