-0,000 035 666 978 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 666 978(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 666 978(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 666 978| = 0,000 035 666 978


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 666 978.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 666 978 × 2 = 0 + 0,000 071 333 956;
  • 2) 0,000 071 333 956 × 2 = 0 + 0,000 142 667 912;
  • 3) 0,000 142 667 912 × 2 = 0 + 0,000 285 335 824;
  • 4) 0,000 285 335 824 × 2 = 0 + 0,000 570 671 648;
  • 5) 0,000 570 671 648 × 2 = 0 + 0,001 141 343 296;
  • 6) 0,001 141 343 296 × 2 = 0 + 0,002 282 686 592;
  • 7) 0,002 282 686 592 × 2 = 0 + 0,004 565 373 184;
  • 8) 0,004 565 373 184 × 2 = 0 + 0,009 130 746 368;
  • 9) 0,009 130 746 368 × 2 = 0 + 0,018 261 492 736;
  • 10) 0,018 261 492 736 × 2 = 0 + 0,036 522 985 472;
  • 11) 0,036 522 985 472 × 2 = 0 + 0,073 045 970 944;
  • 12) 0,073 045 970 944 × 2 = 0 + 0,146 091 941 888;
  • 13) 0,146 091 941 888 × 2 = 0 + 0,292 183 883 776;
  • 14) 0,292 183 883 776 × 2 = 0 + 0,584 367 767 552;
  • 15) 0,584 367 767 552 × 2 = 1 + 0,168 735 535 104;
  • 16) 0,168 735 535 104 × 2 = 0 + 0,337 471 070 208;
  • 17) 0,337 471 070 208 × 2 = 0 + 0,674 942 140 416;
  • 18) 0,674 942 140 416 × 2 = 1 + 0,349 884 280 832;
  • 19) 0,349 884 280 832 × 2 = 0 + 0,699 768 561 664;
  • 20) 0,699 768 561 664 × 2 = 1 + 0,399 537 123 328;
  • 21) 0,399 537 123 328 × 2 = 0 + 0,799 074 246 656;
  • 22) 0,799 074 246 656 × 2 = 1 + 0,598 148 493 312;
  • 23) 0,598 148 493 312 × 2 = 1 + 0,196 296 986 624;
  • 24) 0,196 296 986 624 × 2 = 0 + 0,392 593 973 248;
  • 25) 0,392 593 973 248 × 2 = 0 + 0,785 187 946 496;
  • 26) 0,785 187 946 496 × 2 = 1 + 0,570 375 892 992;
  • 27) 0,570 375 892 992 × 2 = 1 + 0,140 751 785 984;
  • 28) 0,140 751 785 984 × 2 = 0 + 0,281 503 571 968;
  • 29) 0,281 503 571 968 × 2 = 0 + 0,563 007 143 936;
  • 30) 0,563 007 143 936 × 2 = 1 + 0,126 014 287 872;
  • 31) 0,126 014 287 872 × 2 = 0 + 0,252 028 575 744;
  • 32) 0,252 028 575 744 × 2 = 0 + 0,504 057 151 488;
  • 33) 0,504 057 151 488 × 2 = 1 + 0,008 114 302 976;
  • 34) 0,008 114 302 976 × 2 = 0 + 0,016 228 605 952;
  • 35) 0,016 228 605 952 × 2 = 0 + 0,032 457 211 904;
  • 36) 0,032 457 211 904 × 2 = 0 + 0,064 914 423 808;
  • 37) 0,064 914 423 808 × 2 = 0 + 0,129 828 847 616;
  • 38) 0,129 828 847 616 × 2 = 0 + 0,259 657 695 232;
  • 39) 0,259 657 695 232 × 2 = 0 + 0,519 315 390 464;
  • 40) 0,519 315 390 464 × 2 = 1 + 0,038 630 780 928;
  • 41) 0,038 630 780 928 × 2 = 0 + 0,077 261 561 856;
  • 42) 0,077 261 561 856 × 2 = 0 + 0,154 523 123 712;
  • 43) 0,154 523 123 712 × 2 = 0 + 0,309 046 247 424;
  • 44) 0,309 046 247 424 × 2 = 0 + 0,618 092 494 848;
  • 45) 0,618 092 494 848 × 2 = 1 + 0,236 184 989 696;
  • 46) 0,236 184 989 696 × 2 = 0 + 0,472 369 979 392;
  • 47) 0,472 369 979 392 × 2 = 0 + 0,944 739 958 784;
  • 48) 0,944 739 958 784 × 2 = 1 + 0,889 479 917 568;
  • 49) 0,889 479 917 568 × 2 = 1 + 0,778 959 835 136;
  • 50) 0,778 959 835 136 × 2 = 1 + 0,557 919 670 272;
  • 51) 0,557 919 670 272 × 2 = 1 + 0,115 839 340 544;
  • 52) 0,115 839 340 544 × 2 = 0 + 0,231 678 681 088;
  • 53) 0,231 678 681 088 × 2 = 0 + 0,463 357 362 176;
  • 54) 0,463 357 362 176 × 2 = 0 + 0,926 714 724 352;
  • 55) 0,926 714 724 352 × 2 = 1 + 0,853 429 448 704;
  • 56) 0,853 429 448 704 × 2 = 1 + 0,706 858 897 408;
  • 57) 0,706 858 897 408 × 2 = 1 + 0,413 717 794 816;
  • 58) 0,413 717 794 816 × 2 = 0 + 0,827 435 589 632;
  • 59) 0,827 435 589 632 × 2 = 1 + 0,654 871 179 264;
  • 60) 0,654 871 179 264 × 2 = 1 + 0,309 742 358 528;
  • 61) 0,309 742 358 528 × 2 = 0 + 0,619 484 717 056;
  • 62) 0,619 484 717 056 × 2 = 1 + 0,238 969 434 112;
  • 63) 0,238 969 434 112 × 2 = 0 + 0,477 938 868 224;
  • 64) 0,477 938 868 224 × 2 = 0 + 0,955 877 736 448;
  • 65) 0,955 877 736 448 × 2 = 1 + 0,911 755 472 896;
  • 66) 0,911 755 472 896 × 2 = 1 + 0,823 510 945 792;
  • 67) 0,823 510 945 792 × 2 = 1 + 0,647 021 891 584;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 666 978(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1000 0001 0000 1001 1110 0011 1011 0100 111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 666 978(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1000 0001 0000 1001 1110 0011 1011 0100 111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 666 978(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1000 0001 0000 1001 1110 0011 1011 0100 111(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1000 0001 0000 1001 1110 0011 1011 0100 111(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111 =

0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111


Numărul zecimal -0,000 035 666 978 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0100 0000 1000 0100 1111 0001 1101 1010 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 035 666 948 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100