-0,000 035 667 036 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 035 667 036(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 035 667 036(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 035 667 036| = 0,000 035 667 036


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 035 667 036.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 035 667 036 × 2 = 0 + 0,000 071 334 072;
  • 2) 0,000 071 334 072 × 2 = 0 + 0,000 142 668 144;
  • 3) 0,000 142 668 144 × 2 = 0 + 0,000 285 336 288;
  • 4) 0,000 285 336 288 × 2 = 0 + 0,000 570 672 576;
  • 5) 0,000 570 672 576 × 2 = 0 + 0,001 141 345 152;
  • 6) 0,001 141 345 152 × 2 = 0 + 0,002 282 690 304;
  • 7) 0,002 282 690 304 × 2 = 0 + 0,004 565 380 608;
  • 8) 0,004 565 380 608 × 2 = 0 + 0,009 130 761 216;
  • 9) 0,009 130 761 216 × 2 = 0 + 0,018 261 522 432;
  • 10) 0,018 261 522 432 × 2 = 0 + 0,036 523 044 864;
  • 11) 0,036 523 044 864 × 2 = 0 + 0,073 046 089 728;
  • 12) 0,073 046 089 728 × 2 = 0 + 0,146 092 179 456;
  • 13) 0,146 092 179 456 × 2 = 0 + 0,292 184 358 912;
  • 14) 0,292 184 358 912 × 2 = 0 + 0,584 368 717 824;
  • 15) 0,584 368 717 824 × 2 = 1 + 0,168 737 435 648;
  • 16) 0,168 737 435 648 × 2 = 0 + 0,337 474 871 296;
  • 17) 0,337 474 871 296 × 2 = 0 + 0,674 949 742 592;
  • 18) 0,674 949 742 592 × 2 = 1 + 0,349 899 485 184;
  • 19) 0,349 899 485 184 × 2 = 0 + 0,699 798 970 368;
  • 20) 0,699 798 970 368 × 2 = 1 + 0,399 597 940 736;
  • 21) 0,399 597 940 736 × 2 = 0 + 0,799 195 881 472;
  • 22) 0,799 195 881 472 × 2 = 1 + 0,598 391 762 944;
  • 23) 0,598 391 762 944 × 2 = 1 + 0,196 783 525 888;
  • 24) 0,196 783 525 888 × 2 = 0 + 0,393 567 051 776;
  • 25) 0,393 567 051 776 × 2 = 0 + 0,787 134 103 552;
  • 26) 0,787 134 103 552 × 2 = 1 + 0,574 268 207 104;
  • 27) 0,574 268 207 104 × 2 = 1 + 0,148 536 414 208;
  • 28) 0,148 536 414 208 × 2 = 0 + 0,297 072 828 416;
  • 29) 0,297 072 828 416 × 2 = 0 + 0,594 145 656 832;
  • 30) 0,594 145 656 832 × 2 = 1 + 0,188 291 313 664;
  • 31) 0,188 291 313 664 × 2 = 0 + 0,376 582 627 328;
  • 32) 0,376 582 627 328 × 2 = 0 + 0,753 165 254 656;
  • 33) 0,753 165 254 656 × 2 = 1 + 0,506 330 509 312;
  • 34) 0,506 330 509 312 × 2 = 1 + 0,012 661 018 624;
  • 35) 0,012 661 018 624 × 2 = 0 + 0,025 322 037 248;
  • 36) 0,025 322 037 248 × 2 = 0 + 0,050 644 074 496;
  • 37) 0,050 644 074 496 × 2 = 0 + 0,101 288 148 992;
  • 38) 0,101 288 148 992 × 2 = 0 + 0,202 576 297 984;
  • 39) 0,202 576 297 984 × 2 = 0 + 0,405 152 595 968;
  • 40) 0,405 152 595 968 × 2 = 0 + 0,810 305 191 936;
  • 41) 0,810 305 191 936 × 2 = 1 + 0,620 610 383 872;
  • 42) 0,620 610 383 872 × 2 = 1 + 0,241 220 767 744;
  • 43) 0,241 220 767 744 × 2 = 0 + 0,482 441 535 488;
  • 44) 0,482 441 535 488 × 2 = 0 + 0,964 883 070 976;
  • 45) 0,964 883 070 976 × 2 = 1 + 0,929 766 141 952;
  • 46) 0,929 766 141 952 × 2 = 1 + 0,859 532 283 904;
  • 47) 0,859 532 283 904 × 2 = 1 + 0,719 064 567 808;
  • 48) 0,719 064 567 808 × 2 = 1 + 0,438 129 135 616;
  • 49) 0,438 129 135 616 × 2 = 0 + 0,876 258 271 232;
  • 50) 0,876 258 271 232 × 2 = 1 + 0,752 516 542 464;
  • 51) 0,752 516 542 464 × 2 = 1 + 0,505 033 084 928;
  • 52) 0,505 033 084 928 × 2 = 1 + 0,010 066 169 856;
  • 53) 0,010 066 169 856 × 2 = 0 + 0,020 132 339 712;
  • 54) 0,020 132 339 712 × 2 = 0 + 0,040 264 679 424;
  • 55) 0,040 264 679 424 × 2 = 0 + 0,080 529 358 848;
  • 56) 0,080 529 358 848 × 2 = 0 + 0,161 058 717 696;
  • 57) 0,161 058 717 696 × 2 = 0 + 0,322 117 435 392;
  • 58) 0,322 117 435 392 × 2 = 0 + 0,644 234 870 784;
  • 59) 0,644 234 870 784 × 2 = 1 + 0,288 469 741 568;
  • 60) 0,288 469 741 568 × 2 = 0 + 0,576 939 483 136;
  • 61) 0,576 939 483 136 × 2 = 1 + 0,153 878 966 272;
  • 62) 0,153 878 966 272 × 2 = 0 + 0,307 757 932 544;
  • 63) 0,307 757 932 544 × 2 = 0 + 0,615 515 865 088;
  • 64) 0,615 515 865 088 × 2 = 1 + 0,231 031 730 176;
  • 65) 0,231 031 730 176 × 2 = 0 + 0,462 063 460 352;
  • 66) 0,462 063 460 352 × 2 = 0 + 0,924 126 920 704;
  • 67) 0,924 126 920 704 × 2 = 1 + 0,848 253 841 408;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 035 667 036(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1100 0000 1100 1111 0111 0000 0010 1001 001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 035 667 036(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1100 0000 1100 1111 0111 0000 0010 1001 001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 15 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 035 667 036(10) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1100 0000 1100 1111 0111 0000 0010 1001 001(2) =

0,0000 0000 0000 0010 0101 0110 0110 0100 1100 0000 1100 1111 0111 0000 0010 1001 001(2) × 20 =

1,0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001(2) × 2-15


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -15

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-15 + 2(11-1) - 1 =

(-15 + 1 023)(10) =

1 008(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 008 : 2 = 504 + 0;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1008(10) =

011 1111 0000(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001 =

0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0000

Mantisă (52 biți) =
0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001


Numărul zecimal -0,000 035 667 036 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0000 - 0010 1011 0011 0010 0110 0000 0110 0111 1011 1000 0001 0100 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 035 667 1 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100