-0,000 073 37 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 073 37(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 073 37(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 073 37| = 0,000 073 37


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 073 37.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 073 37 × 2 = 0 + 0,000 146 74;
  • 2) 0,000 146 74 × 2 = 0 + 0,000 293 48;
  • 3) 0,000 293 48 × 2 = 0 + 0,000 586 96;
  • 4) 0,000 586 96 × 2 = 0 + 0,001 173 92;
  • 5) 0,001 173 92 × 2 = 0 + 0,002 347 84;
  • 6) 0,002 347 84 × 2 = 0 + 0,004 695 68;
  • 7) 0,004 695 68 × 2 = 0 + 0,009 391 36;
  • 8) 0,009 391 36 × 2 = 0 + 0,018 782 72;
  • 9) 0,018 782 72 × 2 = 0 + 0,037 565 44;
  • 10) 0,037 565 44 × 2 = 0 + 0,075 130 88;
  • 11) 0,075 130 88 × 2 = 0 + 0,150 261 76;
  • 12) 0,150 261 76 × 2 = 0 + 0,300 523 52;
  • 13) 0,300 523 52 × 2 = 0 + 0,601 047 04;
  • 14) 0,601 047 04 × 2 = 1 + 0,202 094 08;
  • 15) 0,202 094 08 × 2 = 0 + 0,404 188 16;
  • 16) 0,404 188 16 × 2 = 0 + 0,808 376 32;
  • 17) 0,808 376 32 × 2 = 1 + 0,616 752 64;
  • 18) 0,616 752 64 × 2 = 1 + 0,233 505 28;
  • 19) 0,233 505 28 × 2 = 0 + 0,467 010 56;
  • 20) 0,467 010 56 × 2 = 0 + 0,934 021 12;
  • 21) 0,934 021 12 × 2 = 1 + 0,868 042 24;
  • 22) 0,868 042 24 × 2 = 1 + 0,736 084 48;
  • 23) 0,736 084 48 × 2 = 1 + 0,472 168 96;
  • 24) 0,472 168 96 × 2 = 0 + 0,944 337 92;
  • 25) 0,944 337 92 × 2 = 1 + 0,888 675 84;
  • 26) 0,888 675 84 × 2 = 1 + 0,777 351 68;
  • 27) 0,777 351 68 × 2 = 1 + 0,554 703 36;
  • 28) 0,554 703 36 × 2 = 1 + 0,109 406 72;
  • 29) 0,109 406 72 × 2 = 0 + 0,218 813 44;
  • 30) 0,218 813 44 × 2 = 0 + 0,437 626 88;
  • 31) 0,437 626 88 × 2 = 0 + 0,875 253 76;
  • 32) 0,875 253 76 × 2 = 1 + 0,750 507 52;
  • 33) 0,750 507 52 × 2 = 1 + 0,501 015 04;
  • 34) 0,501 015 04 × 2 = 1 + 0,002 030 08;
  • 35) 0,002 030 08 × 2 = 0 + 0,004 060 16;
  • 36) 0,004 060 16 × 2 = 0 + 0,008 120 32;
  • 37) 0,008 120 32 × 2 = 0 + 0,016 240 64;
  • 38) 0,016 240 64 × 2 = 0 + 0,032 481 28;
  • 39) 0,032 481 28 × 2 = 0 + 0,064 962 56;
  • 40) 0,064 962 56 × 2 = 0 + 0,129 925 12;
  • 41) 0,129 925 12 × 2 = 0 + 0,259 850 24;
  • 42) 0,259 850 24 × 2 = 0 + 0,519 700 48;
  • 43) 0,519 700 48 × 2 = 1 + 0,039 400 96;
  • 44) 0,039 400 96 × 2 = 0 + 0,078 801 92;
  • 45) 0,078 801 92 × 2 = 0 + 0,157 603 84;
  • 46) 0,157 603 84 × 2 = 0 + 0,315 207 68;
  • 47) 0,315 207 68 × 2 = 0 + 0,630 415 36;
  • 48) 0,630 415 36 × 2 = 1 + 0,260 830 72;
  • 49) 0,260 830 72 × 2 = 0 + 0,521 661 44;
  • 50) 0,521 661 44 × 2 = 1 + 0,043 322 88;
  • 51) 0,043 322 88 × 2 = 0 + 0,086 645 76;
  • 52) 0,086 645 76 × 2 = 0 + 0,173 291 52;
  • 53) 0,173 291 52 × 2 = 0 + 0,346 583 04;
  • 54) 0,346 583 04 × 2 = 0 + 0,693 166 08;
  • 55) 0,693 166 08 × 2 = 1 + 0,386 332 16;
  • 56) 0,386 332 16 × 2 = 0 + 0,772 664 32;
  • 57) 0,772 664 32 × 2 = 1 + 0,545 328 64;
  • 58) 0,545 328 64 × 2 = 1 + 0,090 657 28;
  • 59) 0,090 657 28 × 2 = 0 + 0,181 314 56;
  • 60) 0,181 314 56 × 2 = 0 + 0,362 629 12;
  • 61) 0,362 629 12 × 2 = 0 + 0,725 258 24;
  • 62) 0,725 258 24 × 2 = 1 + 0,450 516 48;
  • 63) 0,450 516 48 × 2 = 0 + 0,901 032 96;
  • 64) 0,901 032 96 × 2 = 1 + 0,802 065 92;
  • 65) 0,802 065 92 × 2 = 1 + 0,604 131 84;
  • 66) 0,604 131 84 × 2 = 1 + 0,208 263 68;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 073 37(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1100 1110 1111 0001 1100 0000 0010 0001 0100 0010 1100 0101 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 073 37(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1100 1110 1111 0001 1100 0000 0010 0001 0100 0010 1100 0101 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 073 37(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1100 1110 1111 0001 1100 0000 0010 0001 0100 0010 1100 0101 11(2) =

0,0000 0000 0000 0100 1100 1110 1111 0001 1100 0000 0010 0001 0100 0010 1100 0101 11(2) × 20 =

1,0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111(2) × 2-14


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111 =

0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111


Numărul zecimal -0,000 073 37 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0001 - 0011 0011 1011 1100 0111 0000 0000 1000 0101 0000 1011 0001 0111

» Scriere -0,000 073 78 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100