-0,000 073 79 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 073 79(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 073 79(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 073 79| = 0,000 073 79


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 073 79.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 073 79 × 2 = 0 + 0,000 147 58;
  • 2) 0,000 147 58 × 2 = 0 + 0,000 295 16;
  • 3) 0,000 295 16 × 2 = 0 + 0,000 590 32;
  • 4) 0,000 590 32 × 2 = 0 + 0,001 180 64;
  • 5) 0,001 180 64 × 2 = 0 + 0,002 361 28;
  • 6) 0,002 361 28 × 2 = 0 + 0,004 722 56;
  • 7) 0,004 722 56 × 2 = 0 + 0,009 445 12;
  • 8) 0,009 445 12 × 2 = 0 + 0,018 890 24;
  • 9) 0,018 890 24 × 2 = 0 + 0,037 780 48;
  • 10) 0,037 780 48 × 2 = 0 + 0,075 560 96;
  • 11) 0,075 560 96 × 2 = 0 + 0,151 121 92;
  • 12) 0,151 121 92 × 2 = 0 + 0,302 243 84;
  • 13) 0,302 243 84 × 2 = 0 + 0,604 487 68;
  • 14) 0,604 487 68 × 2 = 1 + 0,208 975 36;
  • 15) 0,208 975 36 × 2 = 0 + 0,417 950 72;
  • 16) 0,417 950 72 × 2 = 0 + 0,835 901 44;
  • 17) 0,835 901 44 × 2 = 1 + 0,671 802 88;
  • 18) 0,671 802 88 × 2 = 1 + 0,343 605 76;
  • 19) 0,343 605 76 × 2 = 0 + 0,687 211 52;
  • 20) 0,687 211 52 × 2 = 1 + 0,374 423 04;
  • 21) 0,374 423 04 × 2 = 0 + 0,748 846 08;
  • 22) 0,748 846 08 × 2 = 1 + 0,497 692 16;
  • 23) 0,497 692 16 × 2 = 0 + 0,995 384 32;
  • 24) 0,995 384 32 × 2 = 1 + 0,990 768 64;
  • 25) 0,990 768 64 × 2 = 1 + 0,981 537 28;
  • 26) 0,981 537 28 × 2 = 1 + 0,963 074 56;
  • 27) 0,963 074 56 × 2 = 1 + 0,926 149 12;
  • 28) 0,926 149 12 × 2 = 1 + 0,852 298 24;
  • 29) 0,852 298 24 × 2 = 1 + 0,704 596 48;
  • 30) 0,704 596 48 × 2 = 1 + 0,409 192 96;
  • 31) 0,409 192 96 × 2 = 0 + 0,818 385 92;
  • 32) 0,818 385 92 × 2 = 1 + 0,636 771 84;
  • 33) 0,636 771 84 × 2 = 1 + 0,273 543 68;
  • 34) 0,273 543 68 × 2 = 0 + 0,547 087 36;
  • 35) 0,547 087 36 × 2 = 1 + 0,094 174 72;
  • 36) 0,094 174 72 × 2 = 0 + 0,188 349 44;
  • 37) 0,188 349 44 × 2 = 0 + 0,376 698 88;
  • 38) 0,376 698 88 × 2 = 0 + 0,753 397 76;
  • 39) 0,753 397 76 × 2 = 1 + 0,506 795 52;
  • 40) 0,506 795 52 × 2 = 1 + 0,013 591 04;
  • 41) 0,013 591 04 × 2 = 0 + 0,027 182 08;
  • 42) 0,027 182 08 × 2 = 0 + 0,054 364 16;
  • 43) 0,054 364 16 × 2 = 0 + 0,108 728 32;
  • 44) 0,108 728 32 × 2 = 0 + 0,217 456 64;
  • 45) 0,217 456 64 × 2 = 0 + 0,434 913 28;
  • 46) 0,434 913 28 × 2 = 0 + 0,869 826 56;
  • 47) 0,869 826 56 × 2 = 1 + 0,739 653 12;
  • 48) 0,739 653 12 × 2 = 1 + 0,479 306 24;
  • 49) 0,479 306 24 × 2 = 0 + 0,958 612 48;
  • 50) 0,958 612 48 × 2 = 1 + 0,917 224 96;
  • 51) 0,917 224 96 × 2 = 1 + 0,834 449 92;
  • 52) 0,834 449 92 × 2 = 1 + 0,668 899 84;
  • 53) 0,668 899 84 × 2 = 1 + 0,337 799 68;
  • 54) 0,337 799 68 × 2 = 0 + 0,675 599 36;
  • 55) 0,675 599 36 × 2 = 1 + 0,351 198 72;
  • 56) 0,351 198 72 × 2 = 0 + 0,702 397 44;
  • 57) 0,702 397 44 × 2 = 1 + 0,404 794 88;
  • 58) 0,404 794 88 × 2 = 0 + 0,809 589 76;
  • 59) 0,809 589 76 × 2 = 1 + 0,619 179 52;
  • 60) 0,619 179 52 × 2 = 1 + 0,238 359 04;
  • 61) 0,238 359 04 × 2 = 0 + 0,476 718 08;
  • 62) 0,476 718 08 × 2 = 0 + 0,953 436 16;
  • 63) 0,953 436 16 × 2 = 1 + 0,906 872 32;
  • 64) 0,906 872 32 × 2 = 1 + 0,813 744 64;
  • 65) 0,813 744 64 × 2 = 1 + 0,627 489 28;
  • 66) 0,627 489 28 × 2 = 1 + 0,254 978 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 073 79(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 0101 1111 1101 1010 0011 0000 0011 0111 1010 1011 0011 11(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 073 79(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 0101 1111 1101 1010 0011 0000 0011 0111 1010 1011 0011 11(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 073 79(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 0101 1111 1101 1010 0011 0000 0011 0111 1010 1011 0011 11(2) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 0101 1111 1101 1010 0011 0000 0011 0111 1010 1011 0011 11(2) × 20 =

1,0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111(2) × 2-14


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111 =

0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111


Numărul zecimal -0,000 073 79 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0001 - 0011 0101 0111 1111 0110 1000 1100 0000 1101 1110 1010 1100 1111

» Scriere -0,000 073 43 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100