-0,000 074 15 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 074 15(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 074 15(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 074 15| = 0,000 074 15


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 074 15.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 074 15 × 2 = 0 + 0,000 148 3;
  • 2) 0,000 148 3 × 2 = 0 + 0,000 296 6;
  • 3) 0,000 296 6 × 2 = 0 + 0,000 593 2;
  • 4) 0,000 593 2 × 2 = 0 + 0,001 186 4;
  • 5) 0,001 186 4 × 2 = 0 + 0,002 372 8;
  • 6) 0,002 372 8 × 2 = 0 + 0,004 745 6;
  • 7) 0,004 745 6 × 2 = 0 + 0,009 491 2;
  • 8) 0,009 491 2 × 2 = 0 + 0,018 982 4;
  • 9) 0,018 982 4 × 2 = 0 + 0,037 964 8;
  • 10) 0,037 964 8 × 2 = 0 + 0,075 929 6;
  • 11) 0,075 929 6 × 2 = 0 + 0,151 859 2;
  • 12) 0,151 859 2 × 2 = 0 + 0,303 718 4;
  • 13) 0,303 718 4 × 2 = 0 + 0,607 436 8;
  • 14) 0,607 436 8 × 2 = 1 + 0,214 873 6;
  • 15) 0,214 873 6 × 2 = 0 + 0,429 747 2;
  • 16) 0,429 747 2 × 2 = 0 + 0,859 494 4;
  • 17) 0,859 494 4 × 2 = 1 + 0,718 988 8;
  • 18) 0,718 988 8 × 2 = 1 + 0,437 977 6;
  • 19) 0,437 977 6 × 2 = 0 + 0,875 955 2;
  • 20) 0,875 955 2 × 2 = 1 + 0,751 910 4;
  • 21) 0,751 910 4 × 2 = 1 + 0,503 820 8;
  • 22) 0,503 820 8 × 2 = 1 + 0,007 641 6;
  • 23) 0,007 641 6 × 2 = 0 + 0,015 283 2;
  • 24) 0,015 283 2 × 2 = 0 + 0,030 566 4;
  • 25) 0,030 566 4 × 2 = 0 + 0,061 132 8;
  • 26) 0,061 132 8 × 2 = 0 + 0,122 265 6;
  • 27) 0,122 265 6 × 2 = 0 + 0,244 531 2;
  • 28) 0,244 531 2 × 2 = 0 + 0,489 062 4;
  • 29) 0,489 062 4 × 2 = 0 + 0,978 124 8;
  • 30) 0,978 124 8 × 2 = 1 + 0,956 249 6;
  • 31) 0,956 249 6 × 2 = 1 + 0,912 499 2;
  • 32) 0,912 499 2 × 2 = 1 + 0,824 998 4;
  • 33) 0,824 998 4 × 2 = 1 + 0,649 996 8;
  • 34) 0,649 996 8 × 2 = 1 + 0,299 993 6;
  • 35) 0,299 993 6 × 2 = 0 + 0,599 987 2;
  • 36) 0,599 987 2 × 2 = 1 + 0,199 974 4;
  • 37) 0,199 974 4 × 2 = 0 + 0,399 948 8;
  • 38) 0,399 948 8 × 2 = 0 + 0,799 897 6;
  • 39) 0,799 897 6 × 2 = 1 + 0,599 795 2;
  • 40) 0,599 795 2 × 2 = 1 + 0,199 590 4;
  • 41) 0,199 590 4 × 2 = 0 + 0,399 180 8;
  • 42) 0,399 180 8 × 2 = 0 + 0,798 361 6;
  • 43) 0,798 361 6 × 2 = 1 + 0,596 723 2;
  • 44) 0,596 723 2 × 2 = 1 + 0,193 446 4;
  • 45) 0,193 446 4 × 2 = 0 + 0,386 892 8;
  • 46) 0,386 892 8 × 2 = 0 + 0,773 785 6;
  • 47) 0,773 785 6 × 2 = 1 + 0,547 571 2;
  • 48) 0,547 571 2 × 2 = 1 + 0,095 142 4;
  • 49) 0,095 142 4 × 2 = 0 + 0,190 284 8;
  • 50) 0,190 284 8 × 2 = 0 + 0,380 569 6;
  • 51) 0,380 569 6 × 2 = 0 + 0,761 139 2;
  • 52) 0,761 139 2 × 2 = 1 + 0,522 278 4;
  • 53) 0,522 278 4 × 2 = 1 + 0,044 556 8;
  • 54) 0,044 556 8 × 2 = 0 + 0,089 113 6;
  • 55) 0,089 113 6 × 2 = 0 + 0,178 227 2;
  • 56) 0,178 227 2 × 2 = 0 + 0,356 454 4;
  • 57) 0,356 454 4 × 2 = 0 + 0,712 908 8;
  • 58) 0,712 908 8 × 2 = 1 + 0,425 817 6;
  • 59) 0,425 817 6 × 2 = 0 + 0,851 635 2;
  • 60) 0,851 635 2 × 2 = 1 + 0,703 270 4;
  • 61) 0,703 270 4 × 2 = 1 + 0,406 540 8;
  • 62) 0,406 540 8 × 2 = 0 + 0,813 081 6;
  • 63) 0,813 081 6 × 2 = 1 + 0,626 163 2;
  • 64) 0,626 163 2 × 2 = 1 + 0,252 326 4;
  • 65) 0,252 326 4 × 2 = 0 + 0,504 652 8;
  • 66) 0,504 652 8 × 2 = 1 + 0,009 305 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 074 15(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 1100 0000 0111 1101 0011 0011 0011 0001 1000 0101 1011 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 074 15(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 1100 0000 0111 1101 0011 0011 0011 0001 1000 0101 1011 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 074 15(10) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 1100 0000 0111 1101 0011 0011 0011 0001 1000 0101 1011 01(2) =

0,0000 0000 0000 0100 1101 1100 0000 0111 1101 0011 0011 0011 0001 1000 0101 1011 01(2) × 20 =

1,0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101(2) × 2-14


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101 =

0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101


Numărul zecimal -0,000 074 15 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0001 - 0011 0111 0000 0001 1111 0100 1100 1100 1100 0110 0001 0110 1101

» Scriere -0,000 074 48 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 10, 2026 [Octombrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Octombrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100