-0,000 104 529 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 104 529 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 104 529 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 104 529 2| = 0,000 104 529 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 104 529 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 104 529 2 × 2 = 0 + 0,000 209 058 4;
  • 2) 0,000 209 058 4 × 2 = 0 + 0,000 418 116 8;
  • 3) 0,000 418 116 8 × 2 = 0 + 0,000 836 233 6;
  • 4) 0,000 836 233 6 × 2 = 0 + 0,001 672 467 2;
  • 5) 0,001 672 467 2 × 2 = 0 + 0,003 344 934 4;
  • 6) 0,003 344 934 4 × 2 = 0 + 0,006 689 868 8;
  • 7) 0,006 689 868 8 × 2 = 0 + 0,013 379 737 6;
  • 8) 0,013 379 737 6 × 2 = 0 + 0,026 759 475 2;
  • 9) 0,026 759 475 2 × 2 = 0 + 0,053 518 950 4;
  • 10) 0,053 518 950 4 × 2 = 0 + 0,107 037 900 8;
  • 11) 0,107 037 900 8 × 2 = 0 + 0,214 075 801 6;
  • 12) 0,214 075 801 6 × 2 = 0 + 0,428 151 603 2;
  • 13) 0,428 151 603 2 × 2 = 0 + 0,856 303 206 4;
  • 14) 0,856 303 206 4 × 2 = 1 + 0,712 606 412 8;
  • 15) 0,712 606 412 8 × 2 = 1 + 0,425 212 825 6;
  • 16) 0,425 212 825 6 × 2 = 0 + 0,850 425 651 2;
  • 17) 0,850 425 651 2 × 2 = 1 + 0,700 851 302 4;
  • 18) 0,700 851 302 4 × 2 = 1 + 0,401 702 604 8;
  • 19) 0,401 702 604 8 × 2 = 0 + 0,803 405 209 6;
  • 20) 0,803 405 209 6 × 2 = 1 + 0,606 810 419 2;
  • 21) 0,606 810 419 2 × 2 = 1 + 0,213 620 838 4;
  • 22) 0,213 620 838 4 × 2 = 0 + 0,427 241 676 8;
  • 23) 0,427 241 676 8 × 2 = 0 + 0,854 483 353 6;
  • 24) 0,854 483 353 6 × 2 = 1 + 0,708 966 707 2;
  • 25) 0,708 966 707 2 × 2 = 1 + 0,417 933 414 4;
  • 26) 0,417 933 414 4 × 2 = 0 + 0,835 866 828 8;
  • 27) 0,835 866 828 8 × 2 = 1 + 0,671 733 657 6;
  • 28) 0,671 733 657 6 × 2 = 1 + 0,343 467 315 2;
  • 29) 0,343 467 315 2 × 2 = 0 + 0,686 934 630 4;
  • 30) 0,686 934 630 4 × 2 = 1 + 0,373 869 260 8;
  • 31) 0,373 869 260 8 × 2 = 0 + 0,747 738 521 6;
  • 32) 0,747 738 521 6 × 2 = 1 + 0,495 477 043 2;
  • 33) 0,495 477 043 2 × 2 = 0 + 0,990 954 086 4;
  • 34) 0,990 954 086 4 × 2 = 1 + 0,981 908 172 8;
  • 35) 0,981 908 172 8 × 2 = 1 + 0,963 816 345 6;
  • 36) 0,963 816 345 6 × 2 = 1 + 0,927 632 691 2;
  • 37) 0,927 632 691 2 × 2 = 1 + 0,855 265 382 4;
  • 38) 0,855 265 382 4 × 2 = 1 + 0,710 530 764 8;
  • 39) 0,710 530 764 8 × 2 = 1 + 0,421 061 529 6;
  • 40) 0,421 061 529 6 × 2 = 0 + 0,842 123 059 2;
  • 41) 0,842 123 059 2 × 2 = 1 + 0,684 246 118 4;
  • 42) 0,684 246 118 4 × 2 = 1 + 0,368 492 236 8;
  • 43) 0,368 492 236 8 × 2 = 0 + 0,736 984 473 6;
  • 44) 0,736 984 473 6 × 2 = 1 + 0,473 968 947 2;
  • 45) 0,473 968 947 2 × 2 = 0 + 0,947 937 894 4;
  • 46) 0,947 937 894 4 × 2 = 1 + 0,895 875 788 8;
  • 47) 0,895 875 788 8 × 2 = 1 + 0,791 751 577 6;
  • 48) 0,791 751 577 6 × 2 = 1 + 0,583 503 155 2;
  • 49) 0,583 503 155 2 × 2 = 1 + 0,167 006 310 4;
  • 50) 0,167 006 310 4 × 2 = 0 + 0,334 012 620 8;
  • 51) 0,334 012 620 8 × 2 = 0 + 0,668 025 241 6;
  • 52) 0,668 025 241 6 × 2 = 1 + 0,336 050 483 2;
  • 53) 0,336 050 483 2 × 2 = 0 + 0,672 100 966 4;
  • 54) 0,672 100 966 4 × 2 = 1 + 0,344 201 932 8;
  • 55) 0,344 201 932 8 × 2 = 0 + 0,688 403 865 6;
  • 56) 0,688 403 865 6 × 2 = 1 + 0,376 807 731 2;
  • 57) 0,376 807 731 2 × 2 = 0 + 0,753 615 462 4;
  • 58) 0,753 615 462 4 × 2 = 1 + 0,507 230 924 8;
  • 59) 0,507 230 924 8 × 2 = 1 + 0,014 461 849 6;
  • 60) 0,014 461 849 6 × 2 = 0 + 0,028 923 699 2;
  • 61) 0,028 923 699 2 × 2 = 0 + 0,057 847 398 4;
  • 62) 0,057 847 398 4 × 2 = 0 + 0,115 694 796 8;
  • 63) 0,115 694 796 8 × 2 = 0 + 0,231 389 593 6;
  • 64) 0,231 389 593 6 × 2 = 0 + 0,462 779 187 2;
  • 65) 0,462 779 187 2 × 2 = 0 + 0,925 558 374 4;
  • 66) 0,925 558 374 4 × 2 = 1 + 0,851 116 748 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 104 529 2(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1101 1001 1011 0101 0111 1110 1101 0111 1001 0101 0110 0000 01(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 104 529 2(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1101 1001 1011 0101 0111 1110 1101 0111 1001 0101 0110 0000 01(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 14 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 104 529 2(10) =

0,0000 0000 0000 0110 1101 1001 1011 0101 0111 1110 1101 0111 1001 0101 0110 0000 01(2) =

0,0000 0000 0000 0110 1101 1001 1011 0101 0111 1110 1101 0111 1001 0101 0110 0000 01(2) × 20 =

1,1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001(2) × 2-14


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -14

Mantisă (nenormalizată):
1,1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-14 + 2(11-1) - 1 =

(-14 + 1 023)(10) =

1 009(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 009 : 2 = 504 + 1;
  • 504 : 2 = 252 + 0;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1009(10) =

011 1111 0001(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001 =

1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0001

Mantisă (52 biți) =
1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001


Numărul zecimal -0,000 104 529 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0001 - 1011 0110 0110 1101 0101 1111 1011 0101 1110 0101 0101 1000 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 104 527 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 08, 2026 [August]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: August - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100