-0,000 164 778 450 862 12 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 164 778 450 862 12(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 164 778 450 862 12(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 164 778 450 862 12| = 0,000 164 778 450 862 12


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 164 778 450 862 12.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 164 778 450 862 12 × 2 = 0 + 0,000 329 556 901 724 24;
  • 2) 0,000 329 556 901 724 24 × 2 = 0 + 0,000 659 113 803 448 48;
  • 3) 0,000 659 113 803 448 48 × 2 = 0 + 0,001 318 227 606 896 96;
  • 4) 0,001 318 227 606 896 96 × 2 = 0 + 0,002 636 455 213 793 92;
  • 5) 0,002 636 455 213 793 92 × 2 = 0 + 0,005 272 910 427 587 84;
  • 6) 0,005 272 910 427 587 84 × 2 = 0 + 0,010 545 820 855 175 68;
  • 7) 0,010 545 820 855 175 68 × 2 = 0 + 0,021 091 641 710 351 36;
  • 8) 0,021 091 641 710 351 36 × 2 = 0 + 0,042 183 283 420 702 72;
  • 9) 0,042 183 283 420 702 72 × 2 = 0 + 0,084 366 566 841 405 44;
  • 10) 0,084 366 566 841 405 44 × 2 = 0 + 0,168 733 133 682 810 88;
  • 11) 0,168 733 133 682 810 88 × 2 = 0 + 0,337 466 267 365 621 76;
  • 12) 0,337 466 267 365 621 76 × 2 = 0 + 0,674 932 534 731 243 52;
  • 13) 0,674 932 534 731 243 52 × 2 = 1 + 0,349 865 069 462 487 04;
  • 14) 0,349 865 069 462 487 04 × 2 = 0 + 0,699 730 138 924 974 08;
  • 15) 0,699 730 138 924 974 08 × 2 = 1 + 0,399 460 277 849 948 16;
  • 16) 0,399 460 277 849 948 16 × 2 = 0 + 0,798 920 555 699 896 32;
  • 17) 0,798 920 555 699 896 32 × 2 = 1 + 0,597 841 111 399 792 64;
  • 18) 0,597 841 111 399 792 64 × 2 = 1 + 0,195 682 222 799 585 28;
  • 19) 0,195 682 222 799 585 28 × 2 = 0 + 0,391 364 445 599 170 56;
  • 20) 0,391 364 445 599 170 56 × 2 = 0 + 0,782 728 891 198 341 12;
  • 21) 0,782 728 891 198 341 12 × 2 = 1 + 0,565 457 782 396 682 24;
  • 22) 0,565 457 782 396 682 24 × 2 = 1 + 0,130 915 564 793 364 48;
  • 23) 0,130 915 564 793 364 48 × 2 = 0 + 0,261 831 129 586 728 96;
  • 24) 0,261 831 129 586 728 96 × 2 = 0 + 0,523 662 259 173 457 92;
  • 25) 0,523 662 259 173 457 92 × 2 = 1 + 0,047 324 518 346 915 84;
  • 26) 0,047 324 518 346 915 84 × 2 = 0 + 0,094 649 036 693 831 68;
  • 27) 0,094 649 036 693 831 68 × 2 = 0 + 0,189 298 073 387 663 36;
  • 28) 0,189 298 073 387 663 36 × 2 = 0 + 0,378 596 146 775 326 72;
  • 29) 0,378 596 146 775 326 72 × 2 = 0 + 0,757 192 293 550 653 44;
  • 30) 0,757 192 293 550 653 44 × 2 = 1 + 0,514 384 587 101 306 88;
  • 31) 0,514 384 587 101 306 88 × 2 = 1 + 0,028 769 174 202 613 76;
  • 32) 0,028 769 174 202 613 76 × 2 = 0 + 0,057 538 348 405 227 52;
  • 33) 0,057 538 348 405 227 52 × 2 = 0 + 0,115 076 696 810 455 04;
  • 34) 0,115 076 696 810 455 04 × 2 = 0 + 0,230 153 393 620 910 08;
  • 35) 0,230 153 393 620 910 08 × 2 = 0 + 0,460 306 787 241 820 16;
  • 36) 0,460 306 787 241 820 16 × 2 = 0 + 0,920 613 574 483 640 32;
  • 37) 0,920 613 574 483 640 32 × 2 = 1 + 0,841 227 148 967 280 64;
  • 38) 0,841 227 148 967 280 64 × 2 = 1 + 0,682 454 297 934 561 28;
  • 39) 0,682 454 297 934 561 28 × 2 = 1 + 0,364 908 595 869 122 56;
  • 40) 0,364 908 595 869 122 56 × 2 = 0 + 0,729 817 191 738 245 12;
  • 41) 0,729 817 191 738 245 12 × 2 = 1 + 0,459 634 383 476 490 24;
  • 42) 0,459 634 383 476 490 24 × 2 = 0 + 0,919 268 766 952 980 48;
  • 43) 0,919 268 766 952 980 48 × 2 = 1 + 0,838 537 533 905 960 96;
  • 44) 0,838 537 533 905 960 96 × 2 = 1 + 0,677 075 067 811 921 92;
  • 45) 0,677 075 067 811 921 92 × 2 = 1 + 0,354 150 135 623 843 84;
  • 46) 0,354 150 135 623 843 84 × 2 = 0 + 0,708 300 271 247 687 68;
  • 47) 0,708 300 271 247 687 68 × 2 = 1 + 0,416 600 542 495 375 36;
  • 48) 0,416 600 542 495 375 36 × 2 = 0 + 0,833 201 084 990 750 72;
  • 49) 0,833 201 084 990 750 72 × 2 = 1 + 0,666 402 169 981 501 44;
  • 50) 0,666 402 169 981 501 44 × 2 = 1 + 0,332 804 339 963 002 88;
  • 51) 0,332 804 339 963 002 88 × 2 = 0 + 0,665 608 679 926 005 76;
  • 52) 0,665 608 679 926 005 76 × 2 = 1 + 0,331 217 359 852 011 52;
  • 53) 0,331 217 359 852 011 52 × 2 = 0 + 0,662 434 719 704 023 04;
  • 54) 0,662 434 719 704 023 04 × 2 = 1 + 0,324 869 439 408 046 08;
  • 55) 0,324 869 439 408 046 08 × 2 = 0 + 0,649 738 878 816 092 16;
  • 56) 0,649 738 878 816 092 16 × 2 = 1 + 0,299 477 757 632 184 32;
  • 57) 0,299 477 757 632 184 32 × 2 = 0 + 0,598 955 515 264 368 64;
  • 58) 0,598 955 515 264 368 64 × 2 = 1 + 0,197 911 030 528 737 28;
  • 59) 0,197 911 030 528 737 28 × 2 = 0 + 0,395 822 061 057 474 56;
  • 60) 0,395 822 061 057 474 56 × 2 = 0 + 0,791 644 122 114 949 12;
  • 61) 0,791 644 122 114 949 12 × 2 = 1 + 0,583 288 244 229 898 24;
  • 62) 0,583 288 244 229 898 24 × 2 = 1 + 0,166 576 488 459 796 48;
  • 63) 0,166 576 488 459 796 48 × 2 = 0 + 0,333 152 976 919 592 96;
  • 64) 0,333 152 976 919 592 96 × 2 = 0 + 0,666 305 953 839 185 92;
  • 65) 0,666 305 953 839 185 92 × 2 = 1 + 0,332 611 907 678 371 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 164 778 450 862 12(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1010 1101 0101 0100 1100 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 164 778 450 862 12(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1010 1101 0101 0100 1100 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 164 778 450 862 12(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1010 1101 0101 0100 1100 1(2) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1010 1101 0101 0100 1100 1(2) × 20 =

1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001(2) × 2-13


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001 =

0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001


Numărul zecimal -0,000 164 778 450 862 12 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0010 - 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0101 1010 1010 1001 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 164 778 450 861 87 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100