-0,000 164 778 450 862 78 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 164 778 450 862 78(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 164 778 450 862 78(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 164 778 450 862 78| = 0,000 164 778 450 862 78


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 164 778 450 862 78.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 164 778 450 862 78 × 2 = 0 + 0,000 329 556 901 725 56;
  • 2) 0,000 329 556 901 725 56 × 2 = 0 + 0,000 659 113 803 451 12;
  • 3) 0,000 659 113 803 451 12 × 2 = 0 + 0,001 318 227 606 902 24;
  • 4) 0,001 318 227 606 902 24 × 2 = 0 + 0,002 636 455 213 804 48;
  • 5) 0,002 636 455 213 804 48 × 2 = 0 + 0,005 272 910 427 608 96;
  • 6) 0,005 272 910 427 608 96 × 2 = 0 + 0,010 545 820 855 217 92;
  • 7) 0,010 545 820 855 217 92 × 2 = 0 + 0,021 091 641 710 435 84;
  • 8) 0,021 091 641 710 435 84 × 2 = 0 + 0,042 183 283 420 871 68;
  • 9) 0,042 183 283 420 871 68 × 2 = 0 + 0,084 366 566 841 743 36;
  • 10) 0,084 366 566 841 743 36 × 2 = 0 + 0,168 733 133 683 486 72;
  • 11) 0,168 733 133 683 486 72 × 2 = 0 + 0,337 466 267 366 973 44;
  • 12) 0,337 466 267 366 973 44 × 2 = 0 + 0,674 932 534 733 946 88;
  • 13) 0,674 932 534 733 946 88 × 2 = 1 + 0,349 865 069 467 893 76;
  • 14) 0,349 865 069 467 893 76 × 2 = 0 + 0,699 730 138 935 787 52;
  • 15) 0,699 730 138 935 787 52 × 2 = 1 + 0,399 460 277 871 575 04;
  • 16) 0,399 460 277 871 575 04 × 2 = 0 + 0,798 920 555 743 150 08;
  • 17) 0,798 920 555 743 150 08 × 2 = 1 + 0,597 841 111 486 300 16;
  • 18) 0,597 841 111 486 300 16 × 2 = 1 + 0,195 682 222 972 600 32;
  • 19) 0,195 682 222 972 600 32 × 2 = 0 + 0,391 364 445 945 200 64;
  • 20) 0,391 364 445 945 200 64 × 2 = 0 + 0,782 728 891 890 401 28;
  • 21) 0,782 728 891 890 401 28 × 2 = 1 + 0,565 457 783 780 802 56;
  • 22) 0,565 457 783 780 802 56 × 2 = 1 + 0,130 915 567 561 605 12;
  • 23) 0,130 915 567 561 605 12 × 2 = 0 + 0,261 831 135 123 210 24;
  • 24) 0,261 831 135 123 210 24 × 2 = 0 + 0,523 662 270 246 420 48;
  • 25) 0,523 662 270 246 420 48 × 2 = 1 + 0,047 324 540 492 840 96;
  • 26) 0,047 324 540 492 840 96 × 2 = 0 + 0,094 649 080 985 681 92;
  • 27) 0,094 649 080 985 681 92 × 2 = 0 + 0,189 298 161 971 363 84;
  • 28) 0,189 298 161 971 363 84 × 2 = 0 + 0,378 596 323 942 727 68;
  • 29) 0,378 596 323 942 727 68 × 2 = 0 + 0,757 192 647 885 455 36;
  • 30) 0,757 192 647 885 455 36 × 2 = 1 + 0,514 385 295 770 910 72;
  • 31) 0,514 385 295 770 910 72 × 2 = 1 + 0,028 770 591 541 821 44;
  • 32) 0,028 770 591 541 821 44 × 2 = 0 + 0,057 541 183 083 642 88;
  • 33) 0,057 541 183 083 642 88 × 2 = 0 + 0,115 082 366 167 285 76;
  • 34) 0,115 082 366 167 285 76 × 2 = 0 + 0,230 164 732 334 571 52;
  • 35) 0,230 164 732 334 571 52 × 2 = 0 + 0,460 329 464 669 143 04;
  • 36) 0,460 329 464 669 143 04 × 2 = 0 + 0,920 658 929 338 286 08;
  • 37) 0,920 658 929 338 286 08 × 2 = 1 + 0,841 317 858 676 572 16;
  • 38) 0,841 317 858 676 572 16 × 2 = 1 + 0,682 635 717 353 144 32;
  • 39) 0,682 635 717 353 144 32 × 2 = 1 + 0,365 271 434 706 288 64;
  • 40) 0,365 271 434 706 288 64 × 2 = 0 + 0,730 542 869 412 577 28;
  • 41) 0,730 542 869 412 577 28 × 2 = 1 + 0,461 085 738 825 154 56;
  • 42) 0,461 085 738 825 154 56 × 2 = 0 + 0,922 171 477 650 309 12;
  • 43) 0,922 171 477 650 309 12 × 2 = 1 + 0,844 342 955 300 618 24;
  • 44) 0,844 342 955 300 618 24 × 2 = 1 + 0,688 685 910 601 236 48;
  • 45) 0,688 685 910 601 236 48 × 2 = 1 + 0,377 371 821 202 472 96;
  • 46) 0,377 371 821 202 472 96 × 2 = 0 + 0,754 743 642 404 945 92;
  • 47) 0,754 743 642 404 945 92 × 2 = 1 + 0,509 487 284 809 891 84;
  • 48) 0,509 487 284 809 891 84 × 2 = 1 + 0,018 974 569 619 783 68;
  • 49) 0,018 974 569 619 783 68 × 2 = 0 + 0,037 949 139 239 567 36;
  • 50) 0,037 949 139 239 567 36 × 2 = 0 + 0,075 898 278 479 134 72;
  • 51) 0,075 898 278 479 134 72 × 2 = 0 + 0,151 796 556 958 269 44;
  • 52) 0,151 796 556 958 269 44 × 2 = 0 + 0,303 593 113 916 538 88;
  • 53) 0,303 593 113 916 538 88 × 2 = 0 + 0,607 186 227 833 077 76;
  • 54) 0,607 186 227 833 077 76 × 2 = 1 + 0,214 372 455 666 155 52;
  • 55) 0,214 372 455 666 155 52 × 2 = 0 + 0,428 744 911 332 311 04;
  • 56) 0,428 744 911 332 311 04 × 2 = 0 + 0,857 489 822 664 622 08;
  • 57) 0,857 489 822 664 622 08 × 2 = 1 + 0,714 979 645 329 244 16;
  • 58) 0,714 979 645 329 244 16 × 2 = 1 + 0,429 959 290 658 488 32;
  • 59) 0,429 959 290 658 488 32 × 2 = 0 + 0,859 918 581 316 976 64;
  • 60) 0,859 918 581 316 976 64 × 2 = 1 + 0,719 837 162 633 953 28;
  • 61) 0,719 837 162 633 953 28 × 2 = 1 + 0,439 674 325 267 906 56;
  • 62) 0,439 674 325 267 906 56 × 2 = 0 + 0,879 348 650 535 813 12;
  • 63) 0,879 348 650 535 813 12 × 2 = 1 + 0,758 697 301 071 626 24;
  • 64) 0,758 697 301 071 626 24 × 2 = 1 + 0,517 394 602 143 252 48;
  • 65) 0,517 394 602 143 252 48 × 2 = 1 + 0,034 789 204 286 504 96;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 164 778 450 862 78(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0100 1101 1011 1(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 164 778 450 862 78(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0100 1101 1011 1(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 164 778 450 862 78(10) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0100 1101 1011 1(2) =

0,0000 0000 0000 1010 1100 1100 1000 0110 0000 1110 1011 1011 0000 0100 1101 1011 1(2) × 20 =

1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111(2) × 2-13


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111 =

0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111


Numărul zecimal -0,000 164 778 450 862 78 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0010 - 0101 1001 1001 0000 1100 0001 1101 0111 0110 0000 1001 1011 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 164 778 450 862 69 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 04, 2026 [Aprilie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Aprilie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100