-0,000 233 922 89 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 233 922 89(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 233 922 89(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 233 922 89| = 0,000 233 922 89


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 233 922 89.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 233 922 89 × 2 = 0 + 0,000 467 845 78;
  • 2) 0,000 467 845 78 × 2 = 0 + 0,000 935 691 56;
  • 3) 0,000 935 691 56 × 2 = 0 + 0,001 871 383 12;
  • 4) 0,001 871 383 12 × 2 = 0 + 0,003 742 766 24;
  • 5) 0,003 742 766 24 × 2 = 0 + 0,007 485 532 48;
  • 6) 0,007 485 532 48 × 2 = 0 + 0,014 971 064 96;
  • 7) 0,014 971 064 96 × 2 = 0 + 0,029 942 129 92;
  • 8) 0,029 942 129 92 × 2 = 0 + 0,059 884 259 84;
  • 9) 0,059 884 259 84 × 2 = 0 + 0,119 768 519 68;
  • 10) 0,119 768 519 68 × 2 = 0 + 0,239 537 039 36;
  • 11) 0,239 537 039 36 × 2 = 0 + 0,479 074 078 72;
  • 12) 0,479 074 078 72 × 2 = 0 + 0,958 148 157 44;
  • 13) 0,958 148 157 44 × 2 = 1 + 0,916 296 314 88;
  • 14) 0,916 296 314 88 × 2 = 1 + 0,832 592 629 76;
  • 15) 0,832 592 629 76 × 2 = 1 + 0,665 185 259 52;
  • 16) 0,665 185 259 52 × 2 = 1 + 0,330 370 519 04;
  • 17) 0,330 370 519 04 × 2 = 0 + 0,660 741 038 08;
  • 18) 0,660 741 038 08 × 2 = 1 + 0,321 482 076 16;
  • 19) 0,321 482 076 16 × 2 = 0 + 0,642 964 152 32;
  • 20) 0,642 964 152 32 × 2 = 1 + 0,285 928 304 64;
  • 21) 0,285 928 304 64 × 2 = 0 + 0,571 856 609 28;
  • 22) 0,571 856 609 28 × 2 = 1 + 0,143 713 218 56;
  • 23) 0,143 713 218 56 × 2 = 0 + 0,287 426 437 12;
  • 24) 0,287 426 437 12 × 2 = 0 + 0,574 852 874 24;
  • 25) 0,574 852 874 24 × 2 = 1 + 0,149 705 748 48;
  • 26) 0,149 705 748 48 × 2 = 0 + 0,299 411 496 96;
  • 27) 0,299 411 496 96 × 2 = 0 + 0,598 822 993 92;
  • 28) 0,598 822 993 92 × 2 = 1 + 0,197 645 987 84;
  • 29) 0,197 645 987 84 × 2 = 0 + 0,395 291 975 68;
  • 30) 0,395 291 975 68 × 2 = 0 + 0,790 583 951 36;
  • 31) 0,790 583 951 36 × 2 = 1 + 0,581 167 902 72;
  • 32) 0,581 167 902 72 × 2 = 1 + 0,162 335 805 44;
  • 33) 0,162 335 805 44 × 2 = 0 + 0,324 671 610 88;
  • 34) 0,324 671 610 88 × 2 = 0 + 0,649 343 221 76;
  • 35) 0,649 343 221 76 × 2 = 1 + 0,298 686 443 52;
  • 36) 0,298 686 443 52 × 2 = 0 + 0,597 372 887 04;
  • 37) 0,597 372 887 04 × 2 = 1 + 0,194 745 774 08;
  • 38) 0,194 745 774 08 × 2 = 0 + 0,389 491 548 16;
  • 39) 0,389 491 548 16 × 2 = 0 + 0,778 983 096 32;
  • 40) 0,778 983 096 32 × 2 = 1 + 0,557 966 192 64;
  • 41) 0,557 966 192 64 × 2 = 1 + 0,115 932 385 28;
  • 42) 0,115 932 385 28 × 2 = 0 + 0,231 864 770 56;
  • 43) 0,231 864 770 56 × 2 = 0 + 0,463 729 541 12;
  • 44) 0,463 729 541 12 × 2 = 0 + 0,927 459 082 24;
  • 45) 0,927 459 082 24 × 2 = 1 + 0,854 918 164 48;
  • 46) 0,854 918 164 48 × 2 = 1 + 0,709 836 328 96;
  • 47) 0,709 836 328 96 × 2 = 1 + 0,419 672 657 92;
  • 48) 0,419 672 657 92 × 2 = 0 + 0,839 345 315 84;
  • 49) 0,839 345 315 84 × 2 = 1 + 0,678 690 631 68;
  • 50) 0,678 690 631 68 × 2 = 1 + 0,357 381 263 36;
  • 51) 0,357 381 263 36 × 2 = 0 + 0,714 762 526 72;
  • 52) 0,714 762 526 72 × 2 = 1 + 0,429 525 053 44;
  • 53) 0,429 525 053 44 × 2 = 0 + 0,859 050 106 88;
  • 54) 0,859 050 106 88 × 2 = 1 + 0,718 100 213 76;
  • 55) 0,718 100 213 76 × 2 = 1 + 0,436 200 427 52;
  • 56) 0,436 200 427 52 × 2 = 0 + 0,872 400 855 04;
  • 57) 0,872 400 855 04 × 2 = 1 + 0,744 801 710 08;
  • 58) 0,744 801 710 08 × 2 = 1 + 0,489 603 420 16;
  • 59) 0,489 603 420 16 × 2 = 0 + 0,979 206 840 32;
  • 60) 0,979 206 840 32 × 2 = 1 + 0,958 413 680 64;
  • 61) 0,958 413 680 64 × 2 = 1 + 0,916 827 361 28;
  • 62) 0,916 827 361 28 × 2 = 1 + 0,833 654 722 56;
  • 63) 0,833 654 722 56 × 2 = 1 + 0,667 309 445 12;
  • 64) 0,667 309 445 12 × 2 = 1 + 0,334 618 890 24;
  • 65) 0,334 618 890 24 × 2 = 0 + 0,669 237 780 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 233 922 89(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0011 0010 1001 1000 1110 1101 0110 1101 1111 0(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 233 922 89(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0011 0010 1001 1000 1110 1101 0110 1101 1111 0(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 13 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 233 922 89(10) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0011 0010 1001 1000 1110 1101 0110 1101 1111 0(2) =

0,0000 0000 0000 1111 0101 0100 1001 0011 0010 1001 1000 1110 1101 0110 1101 1111 0(2) × 20 =

1,1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110(2) × 2-13


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -13

Mantisă (nenormalizată):
1,1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-13 + 2(11-1) - 1 =

(-13 + 1 023)(10) =

1 010(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 010 : 2 = 505 + 0;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1010(10) =

011 1111 0010(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110 =

1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0010

Mantisă (52 biți) =
1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110


Numărul zecimal -0,000 233 922 89 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0010 - 1110 1010 1001 0010 0110 0101 0011 0001 1101 1010 1101 1011 1110

Distribuie

» Scriere -0,000 233 923 27 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 07, 2026 [Iulie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Iulie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100