-0,000 254 797 590 553 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 254 797 590 553(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 254 797 590 553(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 254 797 590 553| = 0,000 254 797 590 553


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 254 797 590 553.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 254 797 590 553 × 2 = 0 + 0,000 509 595 181 106;
  • 2) 0,000 509 595 181 106 × 2 = 0 + 0,001 019 190 362 212;
  • 3) 0,001 019 190 362 212 × 2 = 0 + 0,002 038 380 724 424;
  • 4) 0,002 038 380 724 424 × 2 = 0 + 0,004 076 761 448 848;
  • 5) 0,004 076 761 448 848 × 2 = 0 + 0,008 153 522 897 696;
  • 6) 0,008 153 522 897 696 × 2 = 0 + 0,016 307 045 795 392;
  • 7) 0,016 307 045 795 392 × 2 = 0 + 0,032 614 091 590 784;
  • 8) 0,032 614 091 590 784 × 2 = 0 + 0,065 228 183 181 568;
  • 9) 0,065 228 183 181 568 × 2 = 0 + 0,130 456 366 363 136;
  • 10) 0,130 456 366 363 136 × 2 = 0 + 0,260 912 732 726 272;
  • 11) 0,260 912 732 726 272 × 2 = 0 + 0,521 825 465 452 544;
  • 12) 0,521 825 465 452 544 × 2 = 1 + 0,043 650 930 905 088;
  • 13) 0,043 650 930 905 088 × 2 = 0 + 0,087 301 861 810 176;
  • 14) 0,087 301 861 810 176 × 2 = 0 + 0,174 603 723 620 352;
  • 15) 0,174 603 723 620 352 × 2 = 0 + 0,349 207 447 240 704;
  • 16) 0,349 207 447 240 704 × 2 = 0 + 0,698 414 894 481 408;
  • 17) 0,698 414 894 481 408 × 2 = 1 + 0,396 829 788 962 816;
  • 18) 0,396 829 788 962 816 × 2 = 0 + 0,793 659 577 925 632;
  • 19) 0,793 659 577 925 632 × 2 = 1 + 0,587 319 155 851 264;
  • 20) 0,587 319 155 851 264 × 2 = 1 + 0,174 638 311 702 528;
  • 21) 0,174 638 311 702 528 × 2 = 0 + 0,349 276 623 405 056;
  • 22) 0,349 276 623 405 056 × 2 = 0 + 0,698 553 246 810 112;
  • 23) 0,698 553 246 810 112 × 2 = 1 + 0,397 106 493 620 224;
  • 24) 0,397 106 493 620 224 × 2 = 0 + 0,794 212 987 240 448;
  • 25) 0,794 212 987 240 448 × 2 = 1 + 0,588 425 974 480 896;
  • 26) 0,588 425 974 480 896 × 2 = 1 + 0,176 851 948 961 792;
  • 27) 0,176 851 948 961 792 × 2 = 0 + 0,353 703 897 923 584;
  • 28) 0,353 703 897 923 584 × 2 = 0 + 0,707 407 795 847 168;
  • 29) 0,707 407 795 847 168 × 2 = 1 + 0,414 815 591 694 336;
  • 30) 0,414 815 591 694 336 × 2 = 0 + 0,829 631 183 388 672;
  • 31) 0,829 631 183 388 672 × 2 = 1 + 0,659 262 366 777 344;
  • 32) 0,659 262 366 777 344 × 2 = 1 + 0,318 524 733 554 688;
  • 33) 0,318 524 733 554 688 × 2 = 0 + 0,637 049 467 109 376;
  • 34) 0,637 049 467 109 376 × 2 = 1 + 0,274 098 934 218 752;
  • 35) 0,274 098 934 218 752 × 2 = 0 + 0,548 197 868 437 504;
  • 36) 0,548 197 868 437 504 × 2 = 1 + 0,096 395 736 875 008;
  • 37) 0,096 395 736 875 008 × 2 = 0 + 0,192 791 473 750 016;
  • 38) 0,192 791 473 750 016 × 2 = 0 + 0,385 582 947 500 032;
  • 39) 0,385 582 947 500 032 × 2 = 0 + 0,771 165 895 000 064;
  • 40) 0,771 165 895 000 064 × 2 = 1 + 0,542 331 790 000 128;
  • 41) 0,542 331 790 000 128 × 2 = 1 + 0,084 663 580 000 256;
  • 42) 0,084 663 580 000 256 × 2 = 0 + 0,169 327 160 000 512;
  • 43) 0,169 327 160 000 512 × 2 = 0 + 0,338 654 320 001 024;
  • 44) 0,338 654 320 001 024 × 2 = 0 + 0,677 308 640 002 048;
  • 45) 0,677 308 640 002 048 × 2 = 1 + 0,354 617 280 004 096;
  • 46) 0,354 617 280 004 096 × 2 = 0 + 0,709 234 560 008 192;
  • 47) 0,709 234 560 008 192 × 2 = 1 + 0,418 469 120 016 384;
  • 48) 0,418 469 120 016 384 × 2 = 0 + 0,836 938 240 032 768;
  • 49) 0,836 938 240 032 768 × 2 = 1 + 0,673 876 480 065 536;
  • 50) 0,673 876 480 065 536 × 2 = 1 + 0,347 752 960 131 072;
  • 51) 0,347 752 960 131 072 × 2 = 0 + 0,695 505 920 262 144;
  • 52) 0,695 505 920 262 144 × 2 = 1 + 0,391 011 840 524 288;
  • 53) 0,391 011 840 524 288 × 2 = 0 + 0,782 023 681 048 576;
  • 54) 0,782 023 681 048 576 × 2 = 1 + 0,564 047 362 097 152;
  • 55) 0,564 047 362 097 152 × 2 = 1 + 0,128 094 724 194 304;
  • 56) 0,128 094 724 194 304 × 2 = 0 + 0,256 189 448 388 608;
  • 57) 0,256 189 448 388 608 × 2 = 0 + 0,512 378 896 777 216;
  • 58) 0,512 378 896 777 216 × 2 = 1 + 0,024 757 793 554 432;
  • 59) 0,024 757 793 554 432 × 2 = 0 + 0,049 515 587 108 864;
  • 60) 0,049 515 587 108 864 × 2 = 0 + 0,099 031 174 217 728;
  • 61) 0,099 031 174 217 728 × 2 = 0 + 0,198 062 348 435 456;
  • 62) 0,198 062 348 435 456 × 2 = 0 + 0,396 124 696 870 912;
  • 63) 0,396 124 696 870 912 × 2 = 0 + 0,792 249 393 741 824;
  • 64) 0,792 249 393 741 824 × 2 = 1 + 0,584 498 787 483 648;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 254 797 590 553(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 254 797 590 553(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 254 797 590 553(10) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001(2) × 20 =

1,0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001 =

0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001


Numărul zecimal -0,000 254 797 590 553 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0000 1011 0010 1100 1011 0101 0001 1000 1010 1101 0110 0100 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 254 797 590 645 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 09, 2026 [Septembrie]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Septembrie - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100