-0,000 281 967 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 967 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 967 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 967 9| = 0,000 281 967 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 967 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 967 9 × 2 = 0 + 0,000 563 935 8;
  • 2) 0,000 563 935 8 × 2 = 0 + 0,001 127 871 6;
  • 3) 0,001 127 871 6 × 2 = 0 + 0,002 255 743 2;
  • 4) 0,002 255 743 2 × 2 = 0 + 0,004 511 486 4;
  • 5) 0,004 511 486 4 × 2 = 0 + 0,009 022 972 8;
  • 6) 0,009 022 972 8 × 2 = 0 + 0,018 045 945 6;
  • 7) 0,018 045 945 6 × 2 = 0 + 0,036 091 891 2;
  • 8) 0,036 091 891 2 × 2 = 0 + 0,072 183 782 4;
  • 9) 0,072 183 782 4 × 2 = 0 + 0,144 367 564 8;
  • 10) 0,144 367 564 8 × 2 = 0 + 0,288 735 129 6;
  • 11) 0,288 735 129 6 × 2 = 0 + 0,577 470 259 2;
  • 12) 0,577 470 259 2 × 2 = 1 + 0,154 940 518 4;
  • 13) 0,154 940 518 4 × 2 = 0 + 0,309 881 036 8;
  • 14) 0,309 881 036 8 × 2 = 0 + 0,619 762 073 6;
  • 15) 0,619 762 073 6 × 2 = 1 + 0,239 524 147 2;
  • 16) 0,239 524 147 2 × 2 = 0 + 0,479 048 294 4;
  • 17) 0,479 048 294 4 × 2 = 0 + 0,958 096 588 8;
  • 18) 0,958 096 588 8 × 2 = 1 + 0,916 193 177 6;
  • 19) 0,916 193 177 6 × 2 = 1 + 0,832 386 355 2;
  • 20) 0,832 386 355 2 × 2 = 1 + 0,664 772 710 4;
  • 21) 0,664 772 710 4 × 2 = 1 + 0,329 545 420 8;
  • 22) 0,329 545 420 8 × 2 = 0 + 0,659 090 841 6;
  • 23) 0,659 090 841 6 × 2 = 1 + 0,318 181 683 2;
  • 24) 0,318 181 683 2 × 2 = 0 + 0,636 363 366 4;
  • 25) 0,636 363 366 4 × 2 = 1 + 0,272 726 732 8;
  • 26) 0,272 726 732 8 × 2 = 0 + 0,545 453 465 6;
  • 27) 0,545 453 465 6 × 2 = 1 + 0,090 906 931 2;
  • 28) 0,090 906 931 2 × 2 = 0 + 0,181 813 862 4;
  • 29) 0,181 813 862 4 × 2 = 0 + 0,363 627 724 8;
  • 30) 0,363 627 724 8 × 2 = 0 + 0,727 255 449 6;
  • 31) 0,727 255 449 6 × 2 = 1 + 0,454 510 899 2;
  • 32) 0,454 510 899 2 × 2 = 0 + 0,909 021 798 4;
  • 33) 0,909 021 798 4 × 2 = 1 + 0,818 043 596 8;
  • 34) 0,818 043 596 8 × 2 = 1 + 0,636 087 193 6;
  • 35) 0,636 087 193 6 × 2 = 1 + 0,272 174 387 2;
  • 36) 0,272 174 387 2 × 2 = 0 + 0,544 348 774 4;
  • 37) 0,544 348 774 4 × 2 = 1 + 0,088 697 548 8;
  • 38) 0,088 697 548 8 × 2 = 0 + 0,177 395 097 6;
  • 39) 0,177 395 097 6 × 2 = 0 + 0,354 790 195 2;
  • 40) 0,354 790 195 2 × 2 = 0 + 0,709 580 390 4;
  • 41) 0,709 580 390 4 × 2 = 1 + 0,419 160 780 8;
  • 42) 0,419 160 780 8 × 2 = 0 + 0,838 321 561 6;
  • 43) 0,838 321 561 6 × 2 = 1 + 0,676 643 123 2;
  • 44) 0,676 643 123 2 × 2 = 1 + 0,353 286 246 4;
  • 45) 0,353 286 246 4 × 2 = 0 + 0,706 572 492 8;
  • 46) 0,706 572 492 8 × 2 = 1 + 0,413 144 985 6;
  • 47) 0,413 144 985 6 × 2 = 0 + 0,826 289 971 2;
  • 48) 0,826 289 971 2 × 2 = 1 + 0,652 579 942 4;
  • 49) 0,652 579 942 4 × 2 = 1 + 0,305 159 884 8;
  • 50) 0,305 159 884 8 × 2 = 0 + 0,610 319 769 6;
  • 51) 0,610 319 769 6 × 2 = 1 + 0,220 639 539 2;
  • 52) 0,220 639 539 2 × 2 = 0 + 0,441 279 078 4;
  • 53) 0,441 279 078 4 × 2 = 0 + 0,882 558 156 8;
  • 54) 0,882 558 156 8 × 2 = 1 + 0,765 116 313 6;
  • 55) 0,765 116 313 6 × 2 = 1 + 0,530 232 627 2;
  • 56) 0,530 232 627 2 × 2 = 1 + 0,060 465 254 4;
  • 57) 0,060 465 254 4 × 2 = 0 + 0,120 930 508 8;
  • 58) 0,120 930 508 8 × 2 = 0 + 0,241 861 017 6;
  • 59) 0,241 861 017 6 × 2 = 0 + 0,483 722 035 2;
  • 60) 0,483 722 035 2 × 2 = 0 + 0,967 444 070 4;
  • 61) 0,967 444 070 4 × 2 = 1 + 0,934 888 140 8;
  • 62) 0,934 888 140 8 × 2 = 1 + 0,869 776 281 6;
  • 63) 0,869 776 281 6 × 2 = 1 + 0,739 552 563 2;
  • 64) 0,739 552 563 2 × 2 = 1 + 0,479 105 126 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 967 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 967 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 967 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111 =

0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111


Numărul zecimal -0,000 281 967 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1010 1010 0010 1110 1000 1011 0101 1010 0111 0000 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 281 963 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100