-0,000 281 984 4 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 984 4(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 984 4(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 984 4| = 0,000 281 984 4


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 984 4.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 984 4 × 2 = 0 + 0,000 563 968 8;
  • 2) 0,000 563 968 8 × 2 = 0 + 0,001 127 937 6;
  • 3) 0,001 127 937 6 × 2 = 0 + 0,002 255 875 2;
  • 4) 0,002 255 875 2 × 2 = 0 + 0,004 511 750 4;
  • 5) 0,004 511 750 4 × 2 = 0 + 0,009 023 500 8;
  • 6) 0,009 023 500 8 × 2 = 0 + 0,018 047 001 6;
  • 7) 0,018 047 001 6 × 2 = 0 + 0,036 094 003 2;
  • 8) 0,036 094 003 2 × 2 = 0 + 0,072 188 006 4;
  • 9) 0,072 188 006 4 × 2 = 0 + 0,144 376 012 8;
  • 10) 0,144 376 012 8 × 2 = 0 + 0,288 752 025 6;
  • 11) 0,288 752 025 6 × 2 = 0 + 0,577 504 051 2;
  • 12) 0,577 504 051 2 × 2 = 1 + 0,155 008 102 4;
  • 13) 0,155 008 102 4 × 2 = 0 + 0,310 016 204 8;
  • 14) 0,310 016 204 8 × 2 = 0 + 0,620 032 409 6;
  • 15) 0,620 032 409 6 × 2 = 1 + 0,240 064 819 2;
  • 16) 0,240 064 819 2 × 2 = 0 + 0,480 129 638 4;
  • 17) 0,480 129 638 4 × 2 = 0 + 0,960 259 276 8;
  • 18) 0,960 259 276 8 × 2 = 1 + 0,920 518 553 6;
  • 19) 0,920 518 553 6 × 2 = 1 + 0,841 037 107 2;
  • 20) 0,841 037 107 2 × 2 = 1 + 0,682 074 214 4;
  • 21) 0,682 074 214 4 × 2 = 1 + 0,364 148 428 8;
  • 22) 0,364 148 428 8 × 2 = 0 + 0,728 296 857 6;
  • 23) 0,728 296 857 6 × 2 = 1 + 0,456 593 715 2;
  • 24) 0,456 593 715 2 × 2 = 0 + 0,913 187 430 4;
  • 25) 0,913 187 430 4 × 2 = 1 + 0,826 374 860 8;
  • 26) 0,826 374 860 8 × 2 = 1 + 0,652 749 721 6;
  • 27) 0,652 749 721 6 × 2 = 1 + 0,305 499 443 2;
  • 28) 0,305 499 443 2 × 2 = 0 + 0,610 998 886 4;
  • 29) 0,610 998 886 4 × 2 = 1 + 0,221 997 772 8;
  • 30) 0,221 997 772 8 × 2 = 0 + 0,443 995 545 6;
  • 31) 0,443 995 545 6 × 2 = 0 + 0,887 991 091 2;
  • 32) 0,887 991 091 2 × 2 = 1 + 0,775 982 182 4;
  • 33) 0,775 982 182 4 × 2 = 1 + 0,551 964 364 8;
  • 34) 0,551 964 364 8 × 2 = 1 + 0,103 928 729 6;
  • 35) 0,103 928 729 6 × 2 = 0 + 0,207 857 459 2;
  • 36) 0,207 857 459 2 × 2 = 0 + 0,415 714 918 4;
  • 37) 0,415 714 918 4 × 2 = 0 + 0,831 429 836 8;
  • 38) 0,831 429 836 8 × 2 = 1 + 0,662 859 673 6;
  • 39) 0,662 859 673 6 × 2 = 1 + 0,325 719 347 2;
  • 40) 0,325 719 347 2 × 2 = 0 + 0,651 438 694 4;
  • 41) 0,651 438 694 4 × 2 = 1 + 0,302 877 388 8;
  • 42) 0,302 877 388 8 × 2 = 0 + 0,605 754 777 6;
  • 43) 0,605 754 777 6 × 2 = 1 + 0,211 509 555 2;
  • 44) 0,211 509 555 2 × 2 = 0 + 0,423 019 110 4;
  • 45) 0,423 019 110 4 × 2 = 0 + 0,846 038 220 8;
  • 46) 0,846 038 220 8 × 2 = 1 + 0,692 076 441 6;
  • 47) 0,692 076 441 6 × 2 = 1 + 0,384 152 883 2;
  • 48) 0,384 152 883 2 × 2 = 0 + 0,768 305 766 4;
  • 49) 0,768 305 766 4 × 2 = 1 + 0,536 611 532 8;
  • 50) 0,536 611 532 8 × 2 = 1 + 0,073 223 065 6;
  • 51) 0,073 223 065 6 × 2 = 0 + 0,146 446 131 2;
  • 52) 0,146 446 131 2 × 2 = 0 + 0,292 892 262 4;
  • 53) 0,292 892 262 4 × 2 = 0 + 0,585 784 524 8;
  • 54) 0,585 784 524 8 × 2 = 1 + 0,171 569 049 6;
  • 55) 0,171 569 049 6 × 2 = 0 + 0,343 138 099 2;
  • 56) 0,343 138 099 2 × 2 = 0 + 0,686 276 198 4;
  • 57) 0,686 276 198 4 × 2 = 1 + 0,372 552 396 8;
  • 58) 0,372 552 396 8 × 2 = 0 + 0,745 104 793 6;
  • 59) 0,745 104 793 6 × 2 = 1 + 0,490 209 587 2;
  • 60) 0,490 209 587 2 × 2 = 0 + 0,980 419 174 4;
  • 61) 0,980 419 174 4 × 2 = 1 + 0,960 838 348 8;
  • 62) 0,960 838 348 8 × 2 = 1 + 0,921 676 697 6;
  • 63) 0,921 676 697 6 × 2 = 1 + 0,843 353 395 2;
  • 64) 0,843 353 395 2 × 2 = 1 + 0,686 706 790 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 984 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 984 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 984 4(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111 =

0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111


Numărul zecimal -0,000 281 984 4 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1010 1110 1001 1100 0110 1010 0110 1100 0100 1010 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 281 986 7 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100