-0,000 281 985 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 985 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 985 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 985 1| = 0,000 281 985 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 985 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 985 1 × 2 = 0 + 0,000 563 970 2;
  • 2) 0,000 563 970 2 × 2 = 0 + 0,001 127 940 4;
  • 3) 0,001 127 940 4 × 2 = 0 + 0,002 255 880 8;
  • 4) 0,002 255 880 8 × 2 = 0 + 0,004 511 761 6;
  • 5) 0,004 511 761 6 × 2 = 0 + 0,009 023 523 2;
  • 6) 0,009 023 523 2 × 2 = 0 + 0,018 047 046 4;
  • 7) 0,018 047 046 4 × 2 = 0 + 0,036 094 092 8;
  • 8) 0,036 094 092 8 × 2 = 0 + 0,072 188 185 6;
  • 9) 0,072 188 185 6 × 2 = 0 + 0,144 376 371 2;
  • 10) 0,144 376 371 2 × 2 = 0 + 0,288 752 742 4;
  • 11) 0,288 752 742 4 × 2 = 0 + 0,577 505 484 8;
  • 12) 0,577 505 484 8 × 2 = 1 + 0,155 010 969 6;
  • 13) 0,155 010 969 6 × 2 = 0 + 0,310 021 939 2;
  • 14) 0,310 021 939 2 × 2 = 0 + 0,620 043 878 4;
  • 15) 0,620 043 878 4 × 2 = 1 + 0,240 087 756 8;
  • 16) 0,240 087 756 8 × 2 = 0 + 0,480 175 513 6;
  • 17) 0,480 175 513 6 × 2 = 0 + 0,960 351 027 2;
  • 18) 0,960 351 027 2 × 2 = 1 + 0,920 702 054 4;
  • 19) 0,920 702 054 4 × 2 = 1 + 0,841 404 108 8;
  • 20) 0,841 404 108 8 × 2 = 1 + 0,682 808 217 6;
  • 21) 0,682 808 217 6 × 2 = 1 + 0,365 616 435 2;
  • 22) 0,365 616 435 2 × 2 = 0 + 0,731 232 870 4;
  • 23) 0,731 232 870 4 × 2 = 1 + 0,462 465 740 8;
  • 24) 0,462 465 740 8 × 2 = 0 + 0,924 931 481 6;
  • 25) 0,924 931 481 6 × 2 = 1 + 0,849 862 963 2;
  • 26) 0,849 862 963 2 × 2 = 1 + 0,699 725 926 4;
  • 27) 0,699 725 926 4 × 2 = 1 + 0,399 451 852 8;
  • 28) 0,399 451 852 8 × 2 = 0 + 0,798 903 705 6;
  • 29) 0,798 903 705 6 × 2 = 1 + 0,597 807 411 2;
  • 30) 0,597 807 411 2 × 2 = 1 + 0,195 614 822 4;
  • 31) 0,195 614 822 4 × 2 = 0 + 0,391 229 644 8;
  • 32) 0,391 229 644 8 × 2 = 0 + 0,782 459 289 6;
  • 33) 0,782 459 289 6 × 2 = 1 + 0,564 918 579 2;
  • 34) 0,564 918 579 2 × 2 = 1 + 0,129 837 158 4;
  • 35) 0,129 837 158 4 × 2 = 0 + 0,259 674 316 8;
  • 36) 0,259 674 316 8 × 2 = 0 + 0,519 348 633 6;
  • 37) 0,519 348 633 6 × 2 = 1 + 0,038 697 267 2;
  • 38) 0,038 697 267 2 × 2 = 0 + 0,077 394 534 4;
  • 39) 0,077 394 534 4 × 2 = 0 + 0,154 789 068 8;
  • 40) 0,154 789 068 8 × 2 = 0 + 0,309 578 137 6;
  • 41) 0,309 578 137 6 × 2 = 0 + 0,619 156 275 2;
  • 42) 0,619 156 275 2 × 2 = 1 + 0,238 312 550 4;
  • 43) 0,238 312 550 4 × 2 = 0 + 0,476 625 100 8;
  • 44) 0,476 625 100 8 × 2 = 0 + 0,953 250 201 6;
  • 45) 0,953 250 201 6 × 2 = 1 + 0,906 500 403 2;
  • 46) 0,906 500 403 2 × 2 = 1 + 0,813 000 806 4;
  • 47) 0,813 000 806 4 × 2 = 1 + 0,626 001 612 8;
  • 48) 0,626 001 612 8 × 2 = 1 + 0,252 003 225 6;
  • 49) 0,252 003 225 6 × 2 = 0 + 0,504 006 451 2;
  • 50) 0,504 006 451 2 × 2 = 1 + 0,008 012 902 4;
  • 51) 0,008 012 902 4 × 2 = 0 + 0,016 025 804 8;
  • 52) 0,016 025 804 8 × 2 = 0 + 0,032 051 609 6;
  • 53) 0,032 051 609 6 × 2 = 0 + 0,064 103 219 2;
  • 54) 0,064 103 219 2 × 2 = 0 + 0,128 206 438 4;
  • 55) 0,128 206 438 4 × 2 = 0 + 0,256 412 876 8;
  • 56) 0,256 412 876 8 × 2 = 0 + 0,512 825 753 6;
  • 57) 0,512 825 753 6 × 2 = 1 + 0,025 651 507 2;
  • 58) 0,025 651 507 2 × 2 = 0 + 0,051 303 014 4;
  • 59) 0,051 303 014 4 × 2 = 0 + 0,102 606 028 8;
  • 60) 0,102 606 028 8 × 2 = 0 + 0,205 212 057 6;
  • 61) 0,205 212 057 6 × 2 = 0 + 0,410 424 115 2;
  • 62) 0,410 424 115 2 × 2 = 0 + 0,820 848 230 4;
  • 63) 0,820 848 230 4 × 2 = 1 + 0,641 696 460 8;
  • 64) 0,641 696 460 8 × 2 = 1 + 0,283 392 921 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 985 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 985 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 985 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011 =

0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011


Numărul zecimal -0,000 281 985 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1010 1110 1100 1100 1000 0100 1111 0100 0000 1000 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 281 977 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100