-0,000 281 989 2 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 989 2(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 989 2(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 989 2| = 0,000 281 989 2


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 989 2.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 989 2 × 2 = 0 + 0,000 563 978 4;
  • 2) 0,000 563 978 4 × 2 = 0 + 0,001 127 956 8;
  • 3) 0,001 127 956 8 × 2 = 0 + 0,002 255 913 6;
  • 4) 0,002 255 913 6 × 2 = 0 + 0,004 511 827 2;
  • 5) 0,004 511 827 2 × 2 = 0 + 0,009 023 654 4;
  • 6) 0,009 023 654 4 × 2 = 0 + 0,018 047 308 8;
  • 7) 0,018 047 308 8 × 2 = 0 + 0,036 094 617 6;
  • 8) 0,036 094 617 6 × 2 = 0 + 0,072 189 235 2;
  • 9) 0,072 189 235 2 × 2 = 0 + 0,144 378 470 4;
  • 10) 0,144 378 470 4 × 2 = 0 + 0,288 756 940 8;
  • 11) 0,288 756 940 8 × 2 = 0 + 0,577 513 881 6;
  • 12) 0,577 513 881 6 × 2 = 1 + 0,155 027 763 2;
  • 13) 0,155 027 763 2 × 2 = 0 + 0,310 055 526 4;
  • 14) 0,310 055 526 4 × 2 = 0 + 0,620 111 052 8;
  • 15) 0,620 111 052 8 × 2 = 1 + 0,240 222 105 6;
  • 16) 0,240 222 105 6 × 2 = 0 + 0,480 444 211 2;
  • 17) 0,480 444 211 2 × 2 = 0 + 0,960 888 422 4;
  • 18) 0,960 888 422 4 × 2 = 1 + 0,921 776 844 8;
  • 19) 0,921 776 844 8 × 2 = 1 + 0,843 553 689 6;
  • 20) 0,843 553 689 6 × 2 = 1 + 0,687 107 379 2;
  • 21) 0,687 107 379 2 × 2 = 1 + 0,374 214 758 4;
  • 22) 0,374 214 758 4 × 2 = 0 + 0,748 429 516 8;
  • 23) 0,748 429 516 8 × 2 = 1 + 0,496 859 033 6;
  • 24) 0,496 859 033 6 × 2 = 0 + 0,993 718 067 2;
  • 25) 0,993 718 067 2 × 2 = 1 + 0,987 436 134 4;
  • 26) 0,987 436 134 4 × 2 = 1 + 0,974 872 268 8;
  • 27) 0,974 872 268 8 × 2 = 1 + 0,949 744 537 6;
  • 28) 0,949 744 537 6 × 2 = 1 + 0,899 489 075 2;
  • 29) 0,899 489 075 2 × 2 = 1 + 0,798 978 150 4;
  • 30) 0,798 978 150 4 × 2 = 1 + 0,597 956 300 8;
  • 31) 0,597 956 300 8 × 2 = 1 + 0,195 912 601 6;
  • 32) 0,195 912 601 6 × 2 = 0 + 0,391 825 203 2;
  • 33) 0,391 825 203 2 × 2 = 0 + 0,783 650 406 4;
  • 34) 0,783 650 406 4 × 2 = 1 + 0,567 300 812 8;
  • 35) 0,567 300 812 8 × 2 = 1 + 0,134 601 625 6;
  • 36) 0,134 601 625 6 × 2 = 0 + 0,269 203 251 2;
  • 37) 0,269 203 251 2 × 2 = 0 + 0,538 406 502 4;
  • 38) 0,538 406 502 4 × 2 = 1 + 0,076 813 004 8;
  • 39) 0,076 813 004 8 × 2 = 0 + 0,153 626 009 6;
  • 40) 0,153 626 009 6 × 2 = 0 + 0,307 252 019 2;
  • 41) 0,307 252 019 2 × 2 = 0 + 0,614 504 038 4;
  • 42) 0,614 504 038 4 × 2 = 1 + 0,229 008 076 8;
  • 43) 0,229 008 076 8 × 2 = 0 + 0,458 016 153 6;
  • 44) 0,458 016 153 6 × 2 = 0 + 0,916 032 307 2;
  • 45) 0,916 032 307 2 × 2 = 1 + 0,832 064 614 4;
  • 46) 0,832 064 614 4 × 2 = 1 + 0,664 129 228 8;
  • 47) 0,664 129 228 8 × 2 = 1 + 0,328 258 457 6;
  • 48) 0,328 258 457 6 × 2 = 0 + 0,656 516 915 2;
  • 49) 0,656 516 915 2 × 2 = 1 + 0,313 033 830 4;
  • 50) 0,313 033 830 4 × 2 = 0 + 0,626 067 660 8;
  • 51) 0,626 067 660 8 × 2 = 1 + 0,252 135 321 6;
  • 52) 0,252 135 321 6 × 2 = 0 + 0,504 270 643 2;
  • 53) 0,504 270 643 2 × 2 = 1 + 0,008 541 286 4;
  • 54) 0,008 541 286 4 × 2 = 0 + 0,017 082 572 8;
  • 55) 0,017 082 572 8 × 2 = 0 + 0,034 165 145 6;
  • 56) 0,034 165 145 6 × 2 = 0 + 0,068 330 291 2;
  • 57) 0,068 330 291 2 × 2 = 0 + 0,136 660 582 4;
  • 58) 0,136 660 582 4 × 2 = 0 + 0,273 321 164 8;
  • 59) 0,273 321 164 8 × 2 = 0 + 0,546 642 329 6;
  • 60) 0,546 642 329 6 × 2 = 1 + 0,093 284 659 2;
  • 61) 0,093 284 659 2 × 2 = 0 + 0,186 569 318 4;
  • 62) 0,186 569 318 4 × 2 = 0 + 0,373 138 636 8;
  • 63) 0,373 138 636 8 × 2 = 0 + 0,746 277 273 6;
  • 64) 0,746 277 273 6 × 2 = 1 + 0,492 554 547 2;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 989 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 989 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 989 2(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001(2) × 20 =

1,0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001 =

0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001


Numărul zecimal -0,000 281 989 2 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1010 1111 1110 0110 0100 0100 1110 1010 1000 0001 0001

Distribuie

» Scriere -0,000 281 989 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100