-0,000 281 994 9 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 994 9(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 994 9(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 994 9| = 0,000 281 994 9


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 994 9.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 994 9 × 2 = 0 + 0,000 563 989 8;
  • 2) 0,000 563 989 8 × 2 = 0 + 0,001 127 979 6;
  • 3) 0,001 127 979 6 × 2 = 0 + 0,002 255 959 2;
  • 4) 0,002 255 959 2 × 2 = 0 + 0,004 511 918 4;
  • 5) 0,004 511 918 4 × 2 = 0 + 0,009 023 836 8;
  • 6) 0,009 023 836 8 × 2 = 0 + 0,018 047 673 6;
  • 7) 0,018 047 673 6 × 2 = 0 + 0,036 095 347 2;
  • 8) 0,036 095 347 2 × 2 = 0 + 0,072 190 694 4;
  • 9) 0,072 190 694 4 × 2 = 0 + 0,144 381 388 8;
  • 10) 0,144 381 388 8 × 2 = 0 + 0,288 762 777 6;
  • 11) 0,288 762 777 6 × 2 = 0 + 0,577 525 555 2;
  • 12) 0,577 525 555 2 × 2 = 1 + 0,155 051 110 4;
  • 13) 0,155 051 110 4 × 2 = 0 + 0,310 102 220 8;
  • 14) 0,310 102 220 8 × 2 = 0 + 0,620 204 441 6;
  • 15) 0,620 204 441 6 × 2 = 1 + 0,240 408 883 2;
  • 16) 0,240 408 883 2 × 2 = 0 + 0,480 817 766 4;
  • 17) 0,480 817 766 4 × 2 = 0 + 0,961 635 532 8;
  • 18) 0,961 635 532 8 × 2 = 1 + 0,923 271 065 6;
  • 19) 0,923 271 065 6 × 2 = 1 + 0,846 542 131 2;
  • 20) 0,846 542 131 2 × 2 = 1 + 0,693 084 262 4;
  • 21) 0,693 084 262 4 × 2 = 1 + 0,386 168 524 8;
  • 22) 0,386 168 524 8 × 2 = 0 + 0,772 337 049 6;
  • 23) 0,772 337 049 6 × 2 = 1 + 0,544 674 099 2;
  • 24) 0,544 674 099 2 × 2 = 1 + 0,089 348 198 4;
  • 25) 0,089 348 198 4 × 2 = 0 + 0,178 696 396 8;
  • 26) 0,178 696 396 8 × 2 = 0 + 0,357 392 793 6;
  • 27) 0,357 392 793 6 × 2 = 0 + 0,714 785 587 2;
  • 28) 0,714 785 587 2 × 2 = 1 + 0,429 571 174 4;
  • 29) 0,429 571 174 4 × 2 = 0 + 0,859 142 348 8;
  • 30) 0,859 142 348 8 × 2 = 1 + 0,718 284 697 6;
  • 31) 0,718 284 697 6 × 2 = 1 + 0,436 569 395 2;
  • 32) 0,436 569 395 2 × 2 = 0 + 0,873 138 790 4;
  • 33) 0,873 138 790 4 × 2 = 1 + 0,746 277 580 8;
  • 34) 0,746 277 580 8 × 2 = 1 + 0,492 555 161 6;
  • 35) 0,492 555 161 6 × 2 = 0 + 0,985 110 323 2;
  • 36) 0,985 110 323 2 × 2 = 1 + 0,970 220 646 4;
  • 37) 0,970 220 646 4 × 2 = 1 + 0,940 441 292 8;
  • 38) 0,940 441 292 8 × 2 = 1 + 0,880 882 585 6;
  • 39) 0,880 882 585 6 × 2 = 1 + 0,761 765 171 2;
  • 40) 0,761 765 171 2 × 2 = 1 + 0,523 530 342 4;
  • 41) 0,523 530 342 4 × 2 = 1 + 0,047 060 684 8;
  • 42) 0,047 060 684 8 × 2 = 0 + 0,094 121 369 6;
  • 43) 0,094 121 369 6 × 2 = 0 + 0,188 242 739 2;
  • 44) 0,188 242 739 2 × 2 = 0 + 0,376 485 478 4;
  • 45) 0,376 485 478 4 × 2 = 0 + 0,752 970 956 8;
  • 46) 0,752 970 956 8 × 2 = 1 + 0,505 941 913 6;
  • 47) 0,505 941 913 6 × 2 = 1 + 0,011 883 827 2;
  • 48) 0,011 883 827 2 × 2 = 0 + 0,023 767 654 4;
  • 49) 0,023 767 654 4 × 2 = 0 + 0,047 535 308 8;
  • 50) 0,047 535 308 8 × 2 = 0 + 0,095 070 617 6;
  • 51) 0,095 070 617 6 × 2 = 0 + 0,190 141 235 2;
  • 52) 0,190 141 235 2 × 2 = 0 + 0,380 282 470 4;
  • 53) 0,380 282 470 4 × 2 = 0 + 0,760 564 940 8;
  • 54) 0,760 564 940 8 × 2 = 1 + 0,521 129 881 6;
  • 55) 0,521 129 881 6 × 2 = 1 + 0,042 259 763 2;
  • 56) 0,042 259 763 2 × 2 = 0 + 0,084 519 526 4;
  • 57) 0,084 519 526 4 × 2 = 0 + 0,169 039 052 8;
  • 58) 0,169 039 052 8 × 2 = 0 + 0,338 078 105 6;
  • 59) 0,338 078 105 6 × 2 = 0 + 0,676 156 211 2;
  • 60) 0,676 156 211 2 × 2 = 1 + 0,352 312 422 4;
  • 61) 0,352 312 422 4 × 2 = 0 + 0,704 624 844 8;
  • 62) 0,704 624 844 8 × 2 = 1 + 0,409 249 689 6;
  • 63) 0,409 249 689 6 × 2 = 0 + 0,818 499 379 2;
  • 64) 0,818 499 379 2 × 2 = 1 + 0,636 998 758 4;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 994 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 994 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 994 9(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101 =

0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 281 994 9 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0001 0110 1101 1111 1000 0110 0000 0110 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 002 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100