-0,000 281 995 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 995 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 995 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 995 3| = 0,000 281 995 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 995 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 995 3 × 2 = 0 + 0,000 563 990 6;
  • 2) 0,000 563 990 6 × 2 = 0 + 0,001 127 981 2;
  • 3) 0,001 127 981 2 × 2 = 0 + 0,002 255 962 4;
  • 4) 0,002 255 962 4 × 2 = 0 + 0,004 511 924 8;
  • 5) 0,004 511 924 8 × 2 = 0 + 0,009 023 849 6;
  • 6) 0,009 023 849 6 × 2 = 0 + 0,018 047 699 2;
  • 7) 0,018 047 699 2 × 2 = 0 + 0,036 095 398 4;
  • 8) 0,036 095 398 4 × 2 = 0 + 0,072 190 796 8;
  • 9) 0,072 190 796 8 × 2 = 0 + 0,144 381 593 6;
  • 10) 0,144 381 593 6 × 2 = 0 + 0,288 763 187 2;
  • 11) 0,288 763 187 2 × 2 = 0 + 0,577 526 374 4;
  • 12) 0,577 526 374 4 × 2 = 1 + 0,155 052 748 8;
  • 13) 0,155 052 748 8 × 2 = 0 + 0,310 105 497 6;
  • 14) 0,310 105 497 6 × 2 = 0 + 0,620 210 995 2;
  • 15) 0,620 210 995 2 × 2 = 1 + 0,240 421 990 4;
  • 16) 0,240 421 990 4 × 2 = 0 + 0,480 843 980 8;
  • 17) 0,480 843 980 8 × 2 = 0 + 0,961 687 961 6;
  • 18) 0,961 687 961 6 × 2 = 1 + 0,923 375 923 2;
  • 19) 0,923 375 923 2 × 2 = 1 + 0,846 751 846 4;
  • 20) 0,846 751 846 4 × 2 = 1 + 0,693 503 692 8;
  • 21) 0,693 503 692 8 × 2 = 1 + 0,387 007 385 6;
  • 22) 0,387 007 385 6 × 2 = 0 + 0,774 014 771 2;
  • 23) 0,774 014 771 2 × 2 = 1 + 0,548 029 542 4;
  • 24) 0,548 029 542 4 × 2 = 1 + 0,096 059 084 8;
  • 25) 0,096 059 084 8 × 2 = 0 + 0,192 118 169 6;
  • 26) 0,192 118 169 6 × 2 = 0 + 0,384 236 339 2;
  • 27) 0,384 236 339 2 × 2 = 0 + 0,768 472 678 4;
  • 28) 0,768 472 678 4 × 2 = 1 + 0,536 945 356 8;
  • 29) 0,536 945 356 8 × 2 = 1 + 0,073 890 713 6;
  • 30) 0,073 890 713 6 × 2 = 0 + 0,147 781 427 2;
  • 31) 0,147 781 427 2 × 2 = 0 + 0,295 562 854 4;
  • 32) 0,295 562 854 4 × 2 = 0 + 0,591 125 708 8;
  • 33) 0,591 125 708 8 × 2 = 1 + 0,182 251 417 6;
  • 34) 0,182 251 417 6 × 2 = 0 + 0,364 502 835 2;
  • 35) 0,364 502 835 2 × 2 = 0 + 0,729 005 670 4;
  • 36) 0,729 005 670 4 × 2 = 1 + 0,458 011 340 8;
  • 37) 0,458 011 340 8 × 2 = 0 + 0,916 022 681 6;
  • 38) 0,916 022 681 6 × 2 = 1 + 0,832 045 363 2;
  • 39) 0,832 045 363 2 × 2 = 1 + 0,664 090 726 4;
  • 40) 0,664 090 726 4 × 2 = 1 + 0,328 181 452 8;
  • 41) 0,328 181 452 8 × 2 = 0 + 0,656 362 905 6;
  • 42) 0,656 362 905 6 × 2 = 1 + 0,312 725 811 2;
  • 43) 0,312 725 811 2 × 2 = 0 + 0,625 451 622 4;
  • 44) 0,625 451 622 4 × 2 = 1 + 0,250 903 244 8;
  • 45) 0,250 903 244 8 × 2 = 0 + 0,501 806 489 6;
  • 46) 0,501 806 489 6 × 2 = 1 + 0,003 612 979 2;
  • 47) 0,003 612 979 2 × 2 = 0 + 0,007 225 958 4;
  • 48) 0,007 225 958 4 × 2 = 0 + 0,014 451 916 8;
  • 49) 0,014 451 916 8 × 2 = 0 + 0,028 903 833 6;
  • 50) 0,028 903 833 6 × 2 = 0 + 0,057 807 667 2;
  • 51) 0,057 807 667 2 × 2 = 0 + 0,115 615 334 4;
  • 52) 0,115 615 334 4 × 2 = 0 + 0,231 230 668 8;
  • 53) 0,231 230 668 8 × 2 = 0 + 0,462 461 337 6;
  • 54) 0,462 461 337 6 × 2 = 0 + 0,924 922 675 2;
  • 55) 0,924 922 675 2 × 2 = 1 + 0,849 845 350 4;
  • 56) 0,849 845 350 4 × 2 = 1 + 0,699 690 700 8;
  • 57) 0,699 690 700 8 × 2 = 1 + 0,399 381 401 6;
  • 58) 0,399 381 401 6 × 2 = 0 + 0,798 762 803 2;
  • 59) 0,798 762 803 2 × 2 = 1 + 0,597 525 606 4;
  • 60) 0,597 525 606 4 × 2 = 1 + 0,195 051 212 8;
  • 61) 0,195 051 212 8 × 2 = 0 + 0,390 102 425 6;
  • 62) 0,390 102 425 6 × 2 = 0 + 0,780 204 851 2;
  • 63) 0,780 204 851 2 × 2 = 1 + 0,560 409 702 4;
  • 64) 0,560 409 702 4 × 2 = 1 + 0,120 819 404 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 995 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 995 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 995 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011 =

0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011


Numărul zecimal -0,000 281 995 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0001 1000 1001 0111 0101 0100 0000 0011 1011 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 281 997 3 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100