-0,000 281 998 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 281 998 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 281 998 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 281 998 3| = 0,000 281 998 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 281 998 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 281 998 3 × 2 = 0 + 0,000 563 996 6;
  • 2) 0,000 563 996 6 × 2 = 0 + 0,001 127 993 2;
  • 3) 0,001 127 993 2 × 2 = 0 + 0,002 255 986 4;
  • 4) 0,002 255 986 4 × 2 = 0 + 0,004 511 972 8;
  • 5) 0,004 511 972 8 × 2 = 0 + 0,009 023 945 6;
  • 6) 0,009 023 945 6 × 2 = 0 + 0,018 047 891 2;
  • 7) 0,018 047 891 2 × 2 = 0 + 0,036 095 782 4;
  • 8) 0,036 095 782 4 × 2 = 0 + 0,072 191 564 8;
  • 9) 0,072 191 564 8 × 2 = 0 + 0,144 383 129 6;
  • 10) 0,144 383 129 6 × 2 = 0 + 0,288 766 259 2;
  • 11) 0,288 766 259 2 × 2 = 0 + 0,577 532 518 4;
  • 12) 0,577 532 518 4 × 2 = 1 + 0,155 065 036 8;
  • 13) 0,155 065 036 8 × 2 = 0 + 0,310 130 073 6;
  • 14) 0,310 130 073 6 × 2 = 0 + 0,620 260 147 2;
  • 15) 0,620 260 147 2 × 2 = 1 + 0,240 520 294 4;
  • 16) 0,240 520 294 4 × 2 = 0 + 0,481 040 588 8;
  • 17) 0,481 040 588 8 × 2 = 0 + 0,962 081 177 6;
  • 18) 0,962 081 177 6 × 2 = 1 + 0,924 162 355 2;
  • 19) 0,924 162 355 2 × 2 = 1 + 0,848 324 710 4;
  • 20) 0,848 324 710 4 × 2 = 1 + 0,696 649 420 8;
  • 21) 0,696 649 420 8 × 2 = 1 + 0,393 298 841 6;
  • 22) 0,393 298 841 6 × 2 = 0 + 0,786 597 683 2;
  • 23) 0,786 597 683 2 × 2 = 1 + 0,573 195 366 4;
  • 24) 0,573 195 366 4 × 2 = 1 + 0,146 390 732 8;
  • 25) 0,146 390 732 8 × 2 = 0 + 0,292 781 465 6;
  • 26) 0,292 781 465 6 × 2 = 0 + 0,585 562 931 2;
  • 27) 0,585 562 931 2 × 2 = 1 + 0,171 125 862 4;
  • 28) 0,171 125 862 4 × 2 = 0 + 0,342 251 724 8;
  • 29) 0,342 251 724 8 × 2 = 0 + 0,684 503 449 6;
  • 30) 0,684 503 449 6 × 2 = 1 + 0,369 006 899 2;
  • 31) 0,369 006 899 2 × 2 = 0 + 0,738 013 798 4;
  • 32) 0,738 013 798 4 × 2 = 1 + 0,476 027 596 8;
  • 33) 0,476 027 596 8 × 2 = 0 + 0,952 055 193 6;
  • 34) 0,952 055 193 6 × 2 = 1 + 0,904 110 387 2;
  • 35) 0,904 110 387 2 × 2 = 1 + 0,808 220 774 4;
  • 36) 0,808 220 774 4 × 2 = 1 + 0,616 441 548 8;
  • 37) 0,616 441 548 8 × 2 = 1 + 0,232 883 097 6;
  • 38) 0,232 883 097 6 × 2 = 0 + 0,465 766 195 2;
  • 39) 0,465 766 195 2 × 2 = 0 + 0,931 532 390 4;
  • 40) 0,931 532 390 4 × 2 = 1 + 0,863 064 780 8;
  • 41) 0,863 064 780 8 × 2 = 1 + 0,726 129 561 6;
  • 42) 0,726 129 561 6 × 2 = 1 + 0,452 259 123 2;
  • 43) 0,452 259 123 2 × 2 = 0 + 0,904 518 246 4;
  • 44) 0,904 518 246 4 × 2 = 1 + 0,809 036 492 8;
  • 45) 0,809 036 492 8 × 2 = 1 + 0,618 072 985 6;
  • 46) 0,618 072 985 6 × 2 = 1 + 0,236 145 971 2;
  • 47) 0,236 145 971 2 × 2 = 0 + 0,472 291 942 4;
  • 48) 0,472 291 942 4 × 2 = 0 + 0,944 583 884 8;
  • 49) 0,944 583 884 8 × 2 = 1 + 0,889 167 769 6;
  • 50) 0,889 167 769 6 × 2 = 1 + 0,778 335 539 2;
  • 51) 0,778 335 539 2 × 2 = 1 + 0,556 671 078 4;
  • 52) 0,556 671 078 4 × 2 = 1 + 0,113 342 156 8;
  • 53) 0,113 342 156 8 × 2 = 0 + 0,226 684 313 6;
  • 54) 0,226 684 313 6 × 2 = 0 + 0,453 368 627 2;
  • 55) 0,453 368 627 2 × 2 = 0 + 0,906 737 254 4;
  • 56) 0,906 737 254 4 × 2 = 1 + 0,813 474 508 8;
  • 57) 0,813 474 508 8 × 2 = 1 + 0,626 949 017 6;
  • 58) 0,626 949 017 6 × 2 = 1 + 0,253 898 035 2;
  • 59) 0,253 898 035 2 × 2 = 0 + 0,507 796 070 4;
  • 60) 0,507 796 070 4 × 2 = 1 + 0,015 592 140 8;
  • 61) 0,015 592 140 8 × 2 = 0 + 0,031 184 281 6;
  • 62) 0,031 184 281 6 × 2 = 0 + 0,062 368 563 2;
  • 63) 0,062 368 563 2 × 2 = 0 + 0,124 737 126 4;
  • 64) 0,124 737 126 4 × 2 = 0 + 0,249 474 252 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 281 998 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 281 998 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 281 998 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000 =

0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000


Numărul zecimal -0,000 281 998 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0010 0101 0111 1001 1101 1100 1111 0001 1101 0000

Distribuie

» Scriere -0,000 282 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100