-0,000 282 000 1 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 000 1(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 000 1(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 000 1| = 0,000 282 000 1


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 000 1.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 000 1 × 2 = 0 + 0,000 564 000 2;
  • 2) 0,000 564 000 2 × 2 = 0 + 0,001 128 000 4;
  • 3) 0,001 128 000 4 × 2 = 0 + 0,002 256 000 8;
  • 4) 0,002 256 000 8 × 2 = 0 + 0,004 512 001 6;
  • 5) 0,004 512 001 6 × 2 = 0 + 0,009 024 003 2;
  • 6) 0,009 024 003 2 × 2 = 0 + 0,018 048 006 4;
  • 7) 0,018 048 006 4 × 2 = 0 + 0,036 096 012 8;
  • 8) 0,036 096 012 8 × 2 = 0 + 0,072 192 025 6;
  • 9) 0,072 192 025 6 × 2 = 0 + 0,144 384 051 2;
  • 10) 0,144 384 051 2 × 2 = 0 + 0,288 768 102 4;
  • 11) 0,288 768 102 4 × 2 = 0 + 0,577 536 204 8;
  • 12) 0,577 536 204 8 × 2 = 1 + 0,155 072 409 6;
  • 13) 0,155 072 409 6 × 2 = 0 + 0,310 144 819 2;
  • 14) 0,310 144 819 2 × 2 = 0 + 0,620 289 638 4;
  • 15) 0,620 289 638 4 × 2 = 1 + 0,240 579 276 8;
  • 16) 0,240 579 276 8 × 2 = 0 + 0,481 158 553 6;
  • 17) 0,481 158 553 6 × 2 = 0 + 0,962 317 107 2;
  • 18) 0,962 317 107 2 × 2 = 1 + 0,924 634 214 4;
  • 19) 0,924 634 214 4 × 2 = 1 + 0,849 268 428 8;
  • 20) 0,849 268 428 8 × 2 = 1 + 0,698 536 857 6;
  • 21) 0,698 536 857 6 × 2 = 1 + 0,397 073 715 2;
  • 22) 0,397 073 715 2 × 2 = 0 + 0,794 147 430 4;
  • 23) 0,794 147 430 4 × 2 = 1 + 0,588 294 860 8;
  • 24) 0,588 294 860 8 × 2 = 1 + 0,176 589 721 6;
  • 25) 0,176 589 721 6 × 2 = 0 + 0,353 179 443 2;
  • 26) 0,353 179 443 2 × 2 = 0 + 0,706 358 886 4;
  • 27) 0,706 358 886 4 × 2 = 1 + 0,412 717 772 8;
  • 28) 0,412 717 772 8 × 2 = 0 + 0,825 435 545 6;
  • 29) 0,825 435 545 6 × 2 = 1 + 0,650 871 091 2;
  • 30) 0,650 871 091 2 × 2 = 1 + 0,301 742 182 4;
  • 31) 0,301 742 182 4 × 2 = 0 + 0,603 484 364 8;
  • 32) 0,603 484 364 8 × 2 = 1 + 0,206 968 729 6;
  • 33) 0,206 968 729 6 × 2 = 0 + 0,413 937 459 2;
  • 34) 0,413 937 459 2 × 2 = 0 + 0,827 874 918 4;
  • 35) 0,827 874 918 4 × 2 = 1 + 0,655 749 836 8;
  • 36) 0,655 749 836 8 × 2 = 1 + 0,311 499 673 6;
  • 37) 0,311 499 673 6 × 2 = 0 + 0,622 999 347 2;
  • 38) 0,622 999 347 2 × 2 = 1 + 0,245 998 694 4;
  • 39) 0,245 998 694 4 × 2 = 0 + 0,491 997 388 8;
  • 40) 0,491 997 388 8 × 2 = 0 + 0,983 994 777 6;
  • 41) 0,983 994 777 6 × 2 = 1 + 0,967 989 555 2;
  • 42) 0,967 989 555 2 × 2 = 1 + 0,935 979 110 4;
  • 43) 0,935 979 110 4 × 2 = 1 + 0,871 958 220 8;
  • 44) 0,871 958 220 8 × 2 = 1 + 0,743 916 441 6;
  • 45) 0,743 916 441 6 × 2 = 1 + 0,487 832 883 2;
  • 46) 0,487 832 883 2 × 2 = 0 + 0,975 665 766 4;
  • 47) 0,975 665 766 4 × 2 = 1 + 0,951 331 532 8;
  • 48) 0,951 331 532 8 × 2 = 1 + 0,902 663 065 6;
  • 49) 0,902 663 065 6 × 2 = 1 + 0,805 326 131 2;
  • 50) 0,805 326 131 2 × 2 = 1 + 0,610 652 262 4;
  • 51) 0,610 652 262 4 × 2 = 1 + 0,221 304 524 8;
  • 52) 0,221 304 524 8 × 2 = 0 + 0,442 609 049 6;
  • 53) 0,442 609 049 6 × 2 = 0 + 0,885 218 099 2;
  • 54) 0,885 218 099 2 × 2 = 1 + 0,770 436 198 4;
  • 55) 0,770 436 198 4 × 2 = 1 + 0,540 872 396 8;
  • 56) 0,540 872 396 8 × 2 = 1 + 0,081 744 793 6;
  • 57) 0,081 744 793 6 × 2 = 0 + 0,163 489 587 2;
  • 58) 0,163 489 587 2 × 2 = 0 + 0,326 979 174 4;
  • 59) 0,326 979 174 4 × 2 = 0 + 0,653 958 348 8;
  • 60) 0,653 958 348 8 × 2 = 1 + 0,307 916 697 6;
  • 61) 0,307 916 697 6 × 2 = 0 + 0,615 833 395 2;
  • 62) 0,615 833 395 2 × 2 = 1 + 0,231 666 790 4;
  • 63) 0,231 666 790 4 × 2 = 0 + 0,463 333 580 8;
  • 64) 0,463 333 580 8 × 2 = 0 + 0,926 667 161 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 000 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 000 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 000 1(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100 =

0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100


Numărul zecimal -0,000 282 000 1 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0010 1101 0011 0100 1111 1011 1110 0111 0001 0100

Distribuie

» Scriere -0,000 282 006 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100