-0,000 282 001 6 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 001 6(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 001 6(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 001 6| = 0,000 282 001 6


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 001 6.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 001 6 × 2 = 0 + 0,000 564 003 2;
  • 2) 0,000 564 003 2 × 2 = 0 + 0,001 128 006 4;
  • 3) 0,001 128 006 4 × 2 = 0 + 0,002 256 012 8;
  • 4) 0,002 256 012 8 × 2 = 0 + 0,004 512 025 6;
  • 5) 0,004 512 025 6 × 2 = 0 + 0,009 024 051 2;
  • 6) 0,009 024 051 2 × 2 = 0 + 0,018 048 102 4;
  • 7) 0,018 048 102 4 × 2 = 0 + 0,036 096 204 8;
  • 8) 0,036 096 204 8 × 2 = 0 + 0,072 192 409 6;
  • 9) 0,072 192 409 6 × 2 = 0 + 0,144 384 819 2;
  • 10) 0,144 384 819 2 × 2 = 0 + 0,288 769 638 4;
  • 11) 0,288 769 638 4 × 2 = 0 + 0,577 539 276 8;
  • 12) 0,577 539 276 8 × 2 = 1 + 0,155 078 553 6;
  • 13) 0,155 078 553 6 × 2 = 0 + 0,310 157 107 2;
  • 14) 0,310 157 107 2 × 2 = 0 + 0,620 314 214 4;
  • 15) 0,620 314 214 4 × 2 = 1 + 0,240 628 428 8;
  • 16) 0,240 628 428 8 × 2 = 0 + 0,481 256 857 6;
  • 17) 0,481 256 857 6 × 2 = 0 + 0,962 513 715 2;
  • 18) 0,962 513 715 2 × 2 = 1 + 0,925 027 430 4;
  • 19) 0,925 027 430 4 × 2 = 1 + 0,850 054 860 8;
  • 20) 0,850 054 860 8 × 2 = 1 + 0,700 109 721 6;
  • 21) 0,700 109 721 6 × 2 = 1 + 0,400 219 443 2;
  • 22) 0,400 219 443 2 × 2 = 0 + 0,800 438 886 4;
  • 23) 0,800 438 886 4 × 2 = 1 + 0,600 877 772 8;
  • 24) 0,600 877 772 8 × 2 = 1 + 0,201 755 545 6;
  • 25) 0,201 755 545 6 × 2 = 0 + 0,403 511 091 2;
  • 26) 0,403 511 091 2 × 2 = 0 + 0,807 022 182 4;
  • 27) 0,807 022 182 4 × 2 = 1 + 0,614 044 364 8;
  • 28) 0,614 044 364 8 × 2 = 1 + 0,228 088 729 6;
  • 29) 0,228 088 729 6 × 2 = 0 + 0,456 177 459 2;
  • 30) 0,456 177 459 2 × 2 = 0 + 0,912 354 918 4;
  • 31) 0,912 354 918 4 × 2 = 1 + 0,824 709 836 8;
  • 32) 0,824 709 836 8 × 2 = 1 + 0,649 419 673 6;
  • 33) 0,649 419 673 6 × 2 = 1 + 0,298 839 347 2;
  • 34) 0,298 839 347 2 × 2 = 0 + 0,597 678 694 4;
  • 35) 0,597 678 694 4 × 2 = 1 + 0,195 357 388 8;
  • 36) 0,195 357 388 8 × 2 = 0 + 0,390 714 777 6;
  • 37) 0,390 714 777 6 × 2 = 0 + 0,781 429 555 2;
  • 38) 0,781 429 555 2 × 2 = 1 + 0,562 859 110 4;
  • 39) 0,562 859 110 4 × 2 = 1 + 0,125 718 220 8;
  • 40) 0,125 718 220 8 × 2 = 0 + 0,251 436 441 6;
  • 41) 0,251 436 441 6 × 2 = 0 + 0,502 872 883 2;
  • 42) 0,502 872 883 2 × 2 = 1 + 0,005 745 766 4;
  • 43) 0,005 745 766 4 × 2 = 0 + 0,011 491 532 8;
  • 44) 0,011 491 532 8 × 2 = 0 + 0,022 983 065 6;
  • 45) 0,022 983 065 6 × 2 = 0 + 0,045 966 131 2;
  • 46) 0,045 966 131 2 × 2 = 0 + 0,091 932 262 4;
  • 47) 0,091 932 262 4 × 2 = 0 + 0,183 864 524 8;
  • 48) 0,183 864 524 8 × 2 = 0 + 0,367 729 049 6;
  • 49) 0,367 729 049 6 × 2 = 0 + 0,735 458 099 2;
  • 50) 0,735 458 099 2 × 2 = 1 + 0,470 916 198 4;
  • 51) 0,470 916 198 4 × 2 = 0 + 0,941 832 396 8;
  • 52) 0,941 832 396 8 × 2 = 1 + 0,883 664 793 6;
  • 53) 0,883 664 793 6 × 2 = 1 + 0,767 329 587 2;
  • 54) 0,767 329 587 2 × 2 = 1 + 0,534 659 174 4;
  • 55) 0,534 659 174 4 × 2 = 1 + 0,069 318 348 8;
  • 56) 0,069 318 348 8 × 2 = 0 + 0,138 636 697 6;
  • 57) 0,138 636 697 6 × 2 = 0 + 0,277 273 395 2;
  • 58) 0,277 273 395 2 × 2 = 0 + 0,554 546 790 4;
  • 59) 0,554 546 790 4 × 2 = 1 + 0,109 093 580 8;
  • 60) 0,109 093 580 8 × 2 = 0 + 0,218 187 161 6;
  • 61) 0,218 187 161 6 × 2 = 0 + 0,436 374 323 2;
  • 62) 0,436 374 323 2 × 2 = 0 + 0,872 748 646 4;
  • 63) 0,872 748 646 4 × 2 = 1 + 0,745 497 292 8;
  • 64) 0,745 497 292 8 × 2 = 1 + 0,490 994 585 6;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 001 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 001 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 001 6(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011 =

0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011


Numărul zecimal -0,000 282 001 6 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 0011 1010 0110 0100 0000 0101 1110 0010 0011

Distribuie

» Scriere -0,000 281 996 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100