-0,000 282 002 28 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 002 28(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 002 28(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 002 28| = 0,000 282 002 28


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 002 28.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 002 28 × 2 = 0 + 0,000 564 004 56;
  • 2) 0,000 564 004 56 × 2 = 0 + 0,001 128 009 12;
  • 3) 0,001 128 009 12 × 2 = 0 + 0,002 256 018 24;
  • 4) 0,002 256 018 24 × 2 = 0 + 0,004 512 036 48;
  • 5) 0,004 512 036 48 × 2 = 0 + 0,009 024 072 96;
  • 6) 0,009 024 072 96 × 2 = 0 + 0,018 048 145 92;
  • 7) 0,018 048 145 92 × 2 = 0 + 0,036 096 291 84;
  • 8) 0,036 096 291 84 × 2 = 0 + 0,072 192 583 68;
  • 9) 0,072 192 583 68 × 2 = 0 + 0,144 385 167 36;
  • 10) 0,144 385 167 36 × 2 = 0 + 0,288 770 334 72;
  • 11) 0,288 770 334 72 × 2 = 0 + 0,577 540 669 44;
  • 12) 0,577 540 669 44 × 2 = 1 + 0,155 081 338 88;
  • 13) 0,155 081 338 88 × 2 = 0 + 0,310 162 677 76;
  • 14) 0,310 162 677 76 × 2 = 0 + 0,620 325 355 52;
  • 15) 0,620 325 355 52 × 2 = 1 + 0,240 650 711 04;
  • 16) 0,240 650 711 04 × 2 = 0 + 0,481 301 422 08;
  • 17) 0,481 301 422 08 × 2 = 0 + 0,962 602 844 16;
  • 18) 0,962 602 844 16 × 2 = 1 + 0,925 205 688 32;
  • 19) 0,925 205 688 32 × 2 = 1 + 0,850 411 376 64;
  • 20) 0,850 411 376 64 × 2 = 1 + 0,700 822 753 28;
  • 21) 0,700 822 753 28 × 2 = 1 + 0,401 645 506 56;
  • 22) 0,401 645 506 56 × 2 = 0 + 0,803 291 013 12;
  • 23) 0,803 291 013 12 × 2 = 1 + 0,606 582 026 24;
  • 24) 0,606 582 026 24 × 2 = 1 + 0,213 164 052 48;
  • 25) 0,213 164 052 48 × 2 = 0 + 0,426 328 104 96;
  • 26) 0,426 328 104 96 × 2 = 0 + 0,852 656 209 92;
  • 27) 0,852 656 209 92 × 2 = 1 + 0,705 312 419 84;
  • 28) 0,705 312 419 84 × 2 = 1 + 0,410 624 839 68;
  • 29) 0,410 624 839 68 × 2 = 0 + 0,821 249 679 36;
  • 30) 0,821 249 679 36 × 2 = 1 + 0,642 499 358 72;
  • 31) 0,642 499 358 72 × 2 = 1 + 0,284 998 717 44;
  • 32) 0,284 998 717 44 × 2 = 0 + 0,569 997 434 88;
  • 33) 0,569 997 434 88 × 2 = 1 + 0,139 994 869 76;
  • 34) 0,139 994 869 76 × 2 = 0 + 0,279 989 739 52;
  • 35) 0,279 989 739 52 × 2 = 0 + 0,559 979 479 04;
  • 36) 0,559 979 479 04 × 2 = 1 + 0,119 958 958 08;
  • 37) 0,119 958 958 08 × 2 = 0 + 0,239 917 916 16;
  • 38) 0,239 917 916 16 × 2 = 0 + 0,479 835 832 32;
  • 39) 0,479 835 832 32 × 2 = 0 + 0,959 671 664 64;
  • 40) 0,959 671 664 64 × 2 = 1 + 0,919 343 329 28;
  • 41) 0,919 343 329 28 × 2 = 1 + 0,838 686 658 56;
  • 42) 0,838 686 658 56 × 2 = 1 + 0,677 373 317 12;
  • 43) 0,677 373 317 12 × 2 = 1 + 0,354 746 634 24;
  • 44) 0,354 746 634 24 × 2 = 0 + 0,709 493 268 48;
  • 45) 0,709 493 268 48 × 2 = 1 + 0,418 986 536 96;
  • 46) 0,418 986 536 96 × 2 = 0 + 0,837 973 073 92;
  • 47) 0,837 973 073 92 × 2 = 1 + 0,675 946 147 84;
  • 48) 0,675 946 147 84 × 2 = 1 + 0,351 892 295 68;
  • 49) 0,351 892 295 68 × 2 = 0 + 0,703 784 591 36;
  • 50) 0,703 784 591 36 × 2 = 1 + 0,407 569 182 72;
  • 51) 0,407 569 182 72 × 2 = 0 + 0,815 138 365 44;
  • 52) 0,815 138 365 44 × 2 = 1 + 0,630 276 730 88;
  • 53) 0,630 276 730 88 × 2 = 1 + 0,260 553 461 76;
  • 54) 0,260 553 461 76 × 2 = 0 + 0,521 106 923 52;
  • 55) 0,521 106 923 52 × 2 = 1 + 0,042 213 847 04;
  • 56) 0,042 213 847 04 × 2 = 0 + 0,084 427 694 08;
  • 57) 0,084 427 694 08 × 2 = 0 + 0,168 855 388 16;
  • 58) 0,168 855 388 16 × 2 = 0 + 0,337 710 776 32;
  • 59) 0,337 710 776 32 × 2 = 0 + 0,675 421 552 64;
  • 60) 0,675 421 552 64 × 2 = 1 + 0,350 843 105 28;
  • 61) 0,350 843 105 28 × 2 = 0 + 0,701 686 210 56;
  • 62) 0,701 686 210 56 × 2 = 1 + 0,403 372 421 12;
  • 63) 0,403 372 421 12 × 2 = 0 + 0,806 744 842 24;
  • 64) 0,806 744 842 24 × 2 = 1 + 0,613 489 684 48;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 002 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 002 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 002 28(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101 =

0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101


Numărul zecimal -0,000 282 002 28 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 0110 1001 0001 1110 1011 0101 1010 0001 0101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 001 6 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100