-0,000 282 002 3 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 002 3(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 002 3(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 002 3| = 0,000 282 002 3


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 002 3.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 002 3 × 2 = 0 + 0,000 564 004 6;
  • 2) 0,000 564 004 6 × 2 = 0 + 0,001 128 009 2;
  • 3) 0,001 128 009 2 × 2 = 0 + 0,002 256 018 4;
  • 4) 0,002 256 018 4 × 2 = 0 + 0,004 512 036 8;
  • 5) 0,004 512 036 8 × 2 = 0 + 0,009 024 073 6;
  • 6) 0,009 024 073 6 × 2 = 0 + 0,018 048 147 2;
  • 7) 0,018 048 147 2 × 2 = 0 + 0,036 096 294 4;
  • 8) 0,036 096 294 4 × 2 = 0 + 0,072 192 588 8;
  • 9) 0,072 192 588 8 × 2 = 0 + 0,144 385 177 6;
  • 10) 0,144 385 177 6 × 2 = 0 + 0,288 770 355 2;
  • 11) 0,288 770 355 2 × 2 = 0 + 0,577 540 710 4;
  • 12) 0,577 540 710 4 × 2 = 1 + 0,155 081 420 8;
  • 13) 0,155 081 420 8 × 2 = 0 + 0,310 162 841 6;
  • 14) 0,310 162 841 6 × 2 = 0 + 0,620 325 683 2;
  • 15) 0,620 325 683 2 × 2 = 1 + 0,240 651 366 4;
  • 16) 0,240 651 366 4 × 2 = 0 + 0,481 302 732 8;
  • 17) 0,481 302 732 8 × 2 = 0 + 0,962 605 465 6;
  • 18) 0,962 605 465 6 × 2 = 1 + 0,925 210 931 2;
  • 19) 0,925 210 931 2 × 2 = 1 + 0,850 421 862 4;
  • 20) 0,850 421 862 4 × 2 = 1 + 0,700 843 724 8;
  • 21) 0,700 843 724 8 × 2 = 1 + 0,401 687 449 6;
  • 22) 0,401 687 449 6 × 2 = 0 + 0,803 374 899 2;
  • 23) 0,803 374 899 2 × 2 = 1 + 0,606 749 798 4;
  • 24) 0,606 749 798 4 × 2 = 1 + 0,213 499 596 8;
  • 25) 0,213 499 596 8 × 2 = 0 + 0,426 999 193 6;
  • 26) 0,426 999 193 6 × 2 = 0 + 0,853 998 387 2;
  • 27) 0,853 998 387 2 × 2 = 1 + 0,707 996 774 4;
  • 28) 0,707 996 774 4 × 2 = 1 + 0,415 993 548 8;
  • 29) 0,415 993 548 8 × 2 = 0 + 0,831 987 097 6;
  • 30) 0,831 987 097 6 × 2 = 1 + 0,663 974 195 2;
  • 31) 0,663 974 195 2 × 2 = 1 + 0,327 948 390 4;
  • 32) 0,327 948 390 4 × 2 = 0 + 0,655 896 780 8;
  • 33) 0,655 896 780 8 × 2 = 1 + 0,311 793 561 6;
  • 34) 0,311 793 561 6 × 2 = 0 + 0,623 587 123 2;
  • 35) 0,623 587 123 2 × 2 = 1 + 0,247 174 246 4;
  • 36) 0,247 174 246 4 × 2 = 0 + 0,494 348 492 8;
  • 37) 0,494 348 492 8 × 2 = 0 + 0,988 696 985 6;
  • 38) 0,988 696 985 6 × 2 = 1 + 0,977 393 971 2;
  • 39) 0,977 393 971 2 × 2 = 1 + 0,954 787 942 4;
  • 40) 0,954 787 942 4 × 2 = 1 + 0,909 575 884 8;
  • 41) 0,909 575 884 8 × 2 = 1 + 0,819 151 769 6;
  • 42) 0,819 151 769 6 × 2 = 1 + 0,638 303 539 2;
  • 43) 0,638 303 539 2 × 2 = 1 + 0,276 607 078 4;
  • 44) 0,276 607 078 4 × 2 = 0 + 0,553 214 156 8;
  • 45) 0,553 214 156 8 × 2 = 1 + 0,106 428 313 6;
  • 46) 0,106 428 313 6 × 2 = 0 + 0,212 856 627 2;
  • 47) 0,212 856 627 2 × 2 = 0 + 0,425 713 254 4;
  • 48) 0,425 713 254 4 × 2 = 0 + 0,851 426 508 8;
  • 49) 0,851 426 508 8 × 2 = 1 + 0,702 853 017 6;
  • 50) 0,702 853 017 6 × 2 = 1 + 0,405 706 035 2;
  • 51) 0,405 706 035 2 × 2 = 0 + 0,811 412 070 4;
  • 52) 0,811 412 070 4 × 2 = 1 + 0,622 824 140 8;
  • 53) 0,622 824 140 8 × 2 = 1 + 0,245 648 281 6;
  • 54) 0,245 648 281 6 × 2 = 0 + 0,491 296 563 2;
  • 55) 0,491 296 563 2 × 2 = 0 + 0,982 593 126 4;
  • 56) 0,982 593 126 4 × 2 = 1 + 0,965 186 252 8;
  • 57) 0,965 186 252 8 × 2 = 1 + 0,930 372 505 6;
  • 58) 0,930 372 505 6 × 2 = 1 + 0,860 745 011 2;
  • 59) 0,860 745 011 2 × 2 = 1 + 0,721 490 022 4;
  • 60) 0,721 490 022 4 × 2 = 1 + 0,442 980 044 8;
  • 61) 0,442 980 044 8 × 2 = 0 + 0,885 960 089 6;
  • 62) 0,885 960 089 6 × 2 = 1 + 0,771 920 179 2;
  • 63) 0,771 920 179 2 × 2 = 1 + 0,543 840 358 4;
  • 64) 0,543 840 358 4 × 2 = 1 + 0,087 680 716 8;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 002 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 002 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 002 3(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111 =

0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111


Numărul zecimal -0,000 282 002 3 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 0110 1010 0111 1110 1000 1101 1001 1111 0111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 001 5 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100