-0,000 282 002 41 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 002 41(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 002 41(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 002 41| = 0,000 282 002 41


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 002 41.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 002 41 × 2 = 0 + 0,000 564 004 82;
  • 2) 0,000 564 004 82 × 2 = 0 + 0,001 128 009 64;
  • 3) 0,001 128 009 64 × 2 = 0 + 0,002 256 019 28;
  • 4) 0,002 256 019 28 × 2 = 0 + 0,004 512 038 56;
  • 5) 0,004 512 038 56 × 2 = 0 + 0,009 024 077 12;
  • 6) 0,009 024 077 12 × 2 = 0 + 0,018 048 154 24;
  • 7) 0,018 048 154 24 × 2 = 0 + 0,036 096 308 48;
  • 8) 0,036 096 308 48 × 2 = 0 + 0,072 192 616 96;
  • 9) 0,072 192 616 96 × 2 = 0 + 0,144 385 233 92;
  • 10) 0,144 385 233 92 × 2 = 0 + 0,288 770 467 84;
  • 11) 0,288 770 467 84 × 2 = 0 + 0,577 540 935 68;
  • 12) 0,577 540 935 68 × 2 = 1 + 0,155 081 871 36;
  • 13) 0,155 081 871 36 × 2 = 0 + 0,310 163 742 72;
  • 14) 0,310 163 742 72 × 2 = 0 + 0,620 327 485 44;
  • 15) 0,620 327 485 44 × 2 = 1 + 0,240 654 970 88;
  • 16) 0,240 654 970 88 × 2 = 0 + 0,481 309 941 76;
  • 17) 0,481 309 941 76 × 2 = 0 + 0,962 619 883 52;
  • 18) 0,962 619 883 52 × 2 = 1 + 0,925 239 767 04;
  • 19) 0,925 239 767 04 × 2 = 1 + 0,850 479 534 08;
  • 20) 0,850 479 534 08 × 2 = 1 + 0,700 959 068 16;
  • 21) 0,700 959 068 16 × 2 = 1 + 0,401 918 136 32;
  • 22) 0,401 918 136 32 × 2 = 0 + 0,803 836 272 64;
  • 23) 0,803 836 272 64 × 2 = 1 + 0,607 672 545 28;
  • 24) 0,607 672 545 28 × 2 = 1 + 0,215 345 090 56;
  • 25) 0,215 345 090 56 × 2 = 0 + 0,430 690 181 12;
  • 26) 0,430 690 181 12 × 2 = 0 + 0,861 380 362 24;
  • 27) 0,861 380 362 24 × 2 = 1 + 0,722 760 724 48;
  • 28) 0,722 760 724 48 × 2 = 1 + 0,445 521 448 96;
  • 29) 0,445 521 448 96 × 2 = 0 + 0,891 042 897 92;
  • 30) 0,891 042 897 92 × 2 = 1 + 0,782 085 795 84;
  • 31) 0,782 085 795 84 × 2 = 1 + 0,564 171 591 68;
  • 32) 0,564 171 591 68 × 2 = 1 + 0,128 343 183 36;
  • 33) 0,128 343 183 36 × 2 = 0 + 0,256 686 366 72;
  • 34) 0,256 686 366 72 × 2 = 0 + 0,513 372 733 44;
  • 35) 0,513 372 733 44 × 2 = 1 + 0,026 745 466 88;
  • 36) 0,026 745 466 88 × 2 = 0 + 0,053 490 933 76;
  • 37) 0,053 490 933 76 × 2 = 0 + 0,106 981 867 52;
  • 38) 0,106 981 867 52 × 2 = 0 + 0,213 963 735 04;
  • 39) 0,213 963 735 04 × 2 = 0 + 0,427 927 470 08;
  • 40) 0,427 927 470 08 × 2 = 0 + 0,855 854 940 16;
  • 41) 0,855 854 940 16 × 2 = 1 + 0,711 709 880 32;
  • 42) 0,711 709 880 32 × 2 = 1 + 0,423 419 760 64;
  • 43) 0,423 419 760 64 × 2 = 0 + 0,846 839 521 28;
  • 44) 0,846 839 521 28 × 2 = 1 + 0,693 679 042 56;
  • 45) 0,693 679 042 56 × 2 = 1 + 0,387 358 085 12;
  • 46) 0,387 358 085 12 × 2 = 0 + 0,774 716 170 24;
  • 47) 0,774 716 170 24 × 2 = 1 + 0,549 432 340 48;
  • 48) 0,549 432 340 48 × 2 = 1 + 0,098 864 680 96;
  • 49) 0,098 864 680 96 × 2 = 0 + 0,197 729 361 92;
  • 50) 0,197 729 361 92 × 2 = 0 + 0,395 458 723 84;
  • 51) 0,395 458 723 84 × 2 = 0 + 0,790 917 447 68;
  • 52) 0,790 917 447 68 × 2 = 1 + 0,581 834 895 36;
  • 53) 0,581 834 895 36 × 2 = 1 + 0,163 669 790 72;
  • 54) 0,163 669 790 72 × 2 = 0 + 0,327 339 581 44;
  • 55) 0,327 339 581 44 × 2 = 0 + 0,654 679 162 88;
  • 56) 0,654 679 162 88 × 2 = 1 + 0,309 358 325 76;
  • 57) 0,309 358 325 76 × 2 = 0 + 0,618 716 651 52;
  • 58) 0,618 716 651 52 × 2 = 1 + 0,237 433 303 04;
  • 59) 0,237 433 303 04 × 2 = 0 + 0,474 866 606 08;
  • 60) 0,474 866 606 08 × 2 = 0 + 0,949 733 212 16;
  • 61) 0,949 733 212 16 × 2 = 1 + 0,899 466 424 32;
  • 62) 0,899 466 424 32 × 2 = 1 + 0,798 932 848 64;
  • 63) 0,798 932 848 64 × 2 = 1 + 0,597 865 697 28;
  • 64) 0,597 865 697 28 × 2 = 1 + 0,195 731 394 56;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 002 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 002 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 002 41(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111 =

0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111


Numărul zecimal -0,000 282 002 41 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 0111 0010 0000 1101 1011 0001 1001 0100 1111

Distribuie

» Scriere -0,000 282 002 65 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100