-0,000 282 002 99 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 002 99(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 002 99(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 002 99| = 0,000 282 002 99


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 002 99.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 002 99 × 2 = 0 + 0,000 564 005 98;
  • 2) 0,000 564 005 98 × 2 = 0 + 0,001 128 011 96;
  • 3) 0,001 128 011 96 × 2 = 0 + 0,002 256 023 92;
  • 4) 0,002 256 023 92 × 2 = 0 + 0,004 512 047 84;
  • 5) 0,004 512 047 84 × 2 = 0 + 0,009 024 095 68;
  • 6) 0,009 024 095 68 × 2 = 0 + 0,018 048 191 36;
  • 7) 0,018 048 191 36 × 2 = 0 + 0,036 096 382 72;
  • 8) 0,036 096 382 72 × 2 = 0 + 0,072 192 765 44;
  • 9) 0,072 192 765 44 × 2 = 0 + 0,144 385 530 88;
  • 10) 0,144 385 530 88 × 2 = 0 + 0,288 771 061 76;
  • 11) 0,288 771 061 76 × 2 = 0 + 0,577 542 123 52;
  • 12) 0,577 542 123 52 × 2 = 1 + 0,155 084 247 04;
  • 13) 0,155 084 247 04 × 2 = 0 + 0,310 168 494 08;
  • 14) 0,310 168 494 08 × 2 = 0 + 0,620 336 988 16;
  • 15) 0,620 336 988 16 × 2 = 1 + 0,240 673 976 32;
  • 16) 0,240 673 976 32 × 2 = 0 + 0,481 347 952 64;
  • 17) 0,481 347 952 64 × 2 = 0 + 0,962 695 905 28;
  • 18) 0,962 695 905 28 × 2 = 1 + 0,925 391 810 56;
  • 19) 0,925 391 810 56 × 2 = 1 + 0,850 783 621 12;
  • 20) 0,850 783 621 12 × 2 = 1 + 0,701 567 242 24;
  • 21) 0,701 567 242 24 × 2 = 1 + 0,403 134 484 48;
  • 22) 0,403 134 484 48 × 2 = 0 + 0,806 268 968 96;
  • 23) 0,806 268 968 96 × 2 = 1 + 0,612 537 937 92;
  • 24) 0,612 537 937 92 × 2 = 1 + 0,225 075 875 84;
  • 25) 0,225 075 875 84 × 2 = 0 + 0,450 151 751 68;
  • 26) 0,450 151 751 68 × 2 = 0 + 0,900 303 503 36;
  • 27) 0,900 303 503 36 × 2 = 1 + 0,800 607 006 72;
  • 28) 0,800 607 006 72 × 2 = 1 + 0,601 214 013 44;
  • 29) 0,601 214 013 44 × 2 = 1 + 0,202 428 026 88;
  • 30) 0,202 428 026 88 × 2 = 0 + 0,404 856 053 76;
  • 31) 0,404 856 053 76 × 2 = 0 + 0,809 712 107 52;
  • 32) 0,809 712 107 52 × 2 = 1 + 0,619 424 215 04;
  • 33) 0,619 424 215 04 × 2 = 1 + 0,238 848 430 08;
  • 34) 0,238 848 430 08 × 2 = 0 + 0,477 696 860 16;
  • 35) 0,477 696 860 16 × 2 = 0 + 0,955 393 720 32;
  • 36) 0,955 393 720 32 × 2 = 1 + 0,910 787 440 64;
  • 37) 0,910 787 440 64 × 2 = 1 + 0,821 574 881 28;
  • 38) 0,821 574 881 28 × 2 = 1 + 0,643 149 762 56;
  • 39) 0,643 149 762 56 × 2 = 1 + 0,286 299 525 12;
  • 40) 0,286 299 525 12 × 2 = 0 + 0,572 599 050 24;
  • 41) 0,572 599 050 24 × 2 = 1 + 0,145 198 100 48;
  • 42) 0,145 198 100 48 × 2 = 0 + 0,290 396 200 96;
  • 43) 0,290 396 200 96 × 2 = 0 + 0,580 792 401 92;
  • 44) 0,580 792 401 92 × 2 = 1 + 0,161 584 803 84;
  • 45) 0,161 584 803 84 × 2 = 0 + 0,323 169 607 68;
  • 46) 0,323 169 607 68 × 2 = 0 + 0,646 339 215 36;
  • 47) 0,646 339 215 36 × 2 = 1 + 0,292 678 430 72;
  • 48) 0,292 678 430 72 × 2 = 0 + 0,585 356 861 44;
  • 49) 0,585 356 861 44 × 2 = 1 + 0,170 713 722 88;
  • 50) 0,170 713 722 88 × 2 = 0 + 0,341 427 445 76;
  • 51) 0,341 427 445 76 × 2 = 0 + 0,682 854 891 52;
  • 52) 0,682 854 891 52 × 2 = 1 + 0,365 709 783 04;
  • 53) 0,365 709 783 04 × 2 = 0 + 0,731 419 566 08;
  • 54) 0,731 419 566 08 × 2 = 1 + 0,462 839 132 16;
  • 55) 0,462 839 132 16 × 2 = 0 + 0,925 678 264 32;
  • 56) 0,925 678 264 32 × 2 = 1 + 0,851 356 528 64;
  • 57) 0,851 356 528 64 × 2 = 1 + 0,702 713 057 28;
  • 58) 0,702 713 057 28 × 2 = 1 + 0,405 426 114 56;
  • 59) 0,405 426 114 56 × 2 = 0 + 0,810 852 229 12;
  • 60) 0,810 852 229 12 × 2 = 1 + 0,621 704 458 24;
  • 61) 0,621 704 458 24 × 2 = 1 + 0,243 408 916 48;
  • 62) 0,243 408 916 48 × 2 = 0 + 0,486 817 832 96;
  • 63) 0,486 817 832 96 × 2 = 0 + 0,973 635 665 92;
  • 64) 0,973 635 665 92 × 2 = 1 + 0,947 271 331 84;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 002 99(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 002 99(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 002 99(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001 =

0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001


Numărul zecimal -0,000 282 002 99 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1001 1001 1110 1001 0010 1001 0101 1101 1001

Distribuie

» Scriere -0,000 282 003 61 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100