-0,000 282 003 32 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 003 32(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 003 32(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 003 32| = 0,000 282 003 32


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 003 32.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 003 32 × 2 = 0 + 0,000 564 006 64;
  • 2) 0,000 564 006 64 × 2 = 0 + 0,001 128 013 28;
  • 3) 0,001 128 013 28 × 2 = 0 + 0,002 256 026 56;
  • 4) 0,002 256 026 56 × 2 = 0 + 0,004 512 053 12;
  • 5) 0,004 512 053 12 × 2 = 0 + 0,009 024 106 24;
  • 6) 0,009 024 106 24 × 2 = 0 + 0,018 048 212 48;
  • 7) 0,018 048 212 48 × 2 = 0 + 0,036 096 424 96;
  • 8) 0,036 096 424 96 × 2 = 0 + 0,072 192 849 92;
  • 9) 0,072 192 849 92 × 2 = 0 + 0,144 385 699 84;
  • 10) 0,144 385 699 84 × 2 = 0 + 0,288 771 399 68;
  • 11) 0,288 771 399 68 × 2 = 0 + 0,577 542 799 36;
  • 12) 0,577 542 799 36 × 2 = 1 + 0,155 085 598 72;
  • 13) 0,155 085 598 72 × 2 = 0 + 0,310 171 197 44;
  • 14) 0,310 171 197 44 × 2 = 0 + 0,620 342 394 88;
  • 15) 0,620 342 394 88 × 2 = 1 + 0,240 684 789 76;
  • 16) 0,240 684 789 76 × 2 = 0 + 0,481 369 579 52;
  • 17) 0,481 369 579 52 × 2 = 0 + 0,962 739 159 04;
  • 18) 0,962 739 159 04 × 2 = 1 + 0,925 478 318 08;
  • 19) 0,925 478 318 08 × 2 = 1 + 0,850 956 636 16;
  • 20) 0,850 956 636 16 × 2 = 1 + 0,701 913 272 32;
  • 21) 0,701 913 272 32 × 2 = 1 + 0,403 826 544 64;
  • 22) 0,403 826 544 64 × 2 = 0 + 0,807 653 089 28;
  • 23) 0,807 653 089 28 × 2 = 1 + 0,615 306 178 56;
  • 24) 0,615 306 178 56 × 2 = 1 + 0,230 612 357 12;
  • 25) 0,230 612 357 12 × 2 = 0 + 0,461 224 714 24;
  • 26) 0,461 224 714 24 × 2 = 0 + 0,922 449 428 48;
  • 27) 0,922 449 428 48 × 2 = 1 + 0,844 898 856 96;
  • 28) 0,844 898 856 96 × 2 = 1 + 0,689 797 713 92;
  • 29) 0,689 797 713 92 × 2 = 1 + 0,379 595 427 84;
  • 30) 0,379 595 427 84 × 2 = 0 + 0,759 190 855 68;
  • 31) 0,759 190 855 68 × 2 = 1 + 0,518 381 711 36;
  • 32) 0,518 381 711 36 × 2 = 1 + 0,036 763 422 72;
  • 33) 0,036 763 422 72 × 2 = 0 + 0,073 526 845 44;
  • 34) 0,073 526 845 44 × 2 = 0 + 0,147 053 690 88;
  • 35) 0,147 053 690 88 × 2 = 0 + 0,294 107 381 76;
  • 36) 0,294 107 381 76 × 2 = 0 + 0,588 214 763 52;
  • 37) 0,588 214 763 52 × 2 = 1 + 0,176 429 527 04;
  • 38) 0,176 429 527 04 × 2 = 0 + 0,352 859 054 08;
  • 39) 0,352 859 054 08 × 2 = 0 + 0,705 718 108 16;
  • 40) 0,705 718 108 16 × 2 = 1 + 0,411 436 216 32;
  • 41) 0,411 436 216 32 × 2 = 0 + 0,822 872 432 64;
  • 42) 0,822 872 432 64 × 2 = 1 + 0,645 744 865 28;
  • 43) 0,645 744 865 28 × 2 = 1 + 0,291 489 730 56;
  • 44) 0,291 489 730 56 × 2 = 0 + 0,582 979 461 12;
  • 45) 0,582 979 461 12 × 2 = 1 + 0,165 958 922 24;
  • 46) 0,165 958 922 24 × 2 = 0 + 0,331 917 844 48;
  • 47) 0,331 917 844 48 × 2 = 0 + 0,663 835 688 96;
  • 48) 0,663 835 688 96 × 2 = 1 + 0,327 671 377 92;
  • 49) 0,327 671 377 92 × 2 = 0 + 0,655 342 755 84;
  • 50) 0,655 342 755 84 × 2 = 1 + 0,310 685 511 68;
  • 51) 0,310 685 511 68 × 2 = 0 + 0,621 371 023 36;
  • 52) 0,621 371 023 36 × 2 = 1 + 0,242 742 046 72;
  • 53) 0,242 742 046 72 × 2 = 0 + 0,485 484 093 44;
  • 54) 0,485 484 093 44 × 2 = 0 + 0,970 968 186 88;
  • 55) 0,970 968 186 88 × 2 = 1 + 0,941 936 373 76;
  • 56) 0,941 936 373 76 × 2 = 1 + 0,883 872 747 52;
  • 57) 0,883 872 747 52 × 2 = 1 + 0,767 745 495 04;
  • 58) 0,767 745 495 04 × 2 = 1 + 0,535 490 990 08;
  • 59) 0,535 490 990 08 × 2 = 1 + 0,070 981 980 16;
  • 60) 0,070 981 980 16 × 2 = 0 + 0,141 963 960 32;
  • 61) 0,141 963 960 32 × 2 = 0 + 0,283 927 920 64;
  • 62) 0,283 927 920 64 × 2 = 0 + 0,567 855 841 28;
  • 63) 0,567 855 841 28 × 2 = 1 + 0,135 711 682 56;
  • 64) 0,135 711 682 56 × 2 = 0 + 0,271 423 365 12;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 003 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 003 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 003 32(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010 =

0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010


Numărul zecimal -0,000 282 003 32 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1011 0000 1001 0110 1001 0101 0011 1110 0010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 003 12 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100