-0,000 282 003 47 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 003 47(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 003 47(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 003 47| = 0,000 282 003 47


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 003 47.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 003 47 × 2 = 0 + 0,000 564 006 94;
  • 2) 0,000 564 006 94 × 2 = 0 + 0,001 128 013 88;
  • 3) 0,001 128 013 88 × 2 = 0 + 0,002 256 027 76;
  • 4) 0,002 256 027 76 × 2 = 0 + 0,004 512 055 52;
  • 5) 0,004 512 055 52 × 2 = 0 + 0,009 024 111 04;
  • 6) 0,009 024 111 04 × 2 = 0 + 0,018 048 222 08;
  • 7) 0,018 048 222 08 × 2 = 0 + 0,036 096 444 16;
  • 8) 0,036 096 444 16 × 2 = 0 + 0,072 192 888 32;
  • 9) 0,072 192 888 32 × 2 = 0 + 0,144 385 776 64;
  • 10) 0,144 385 776 64 × 2 = 0 + 0,288 771 553 28;
  • 11) 0,288 771 553 28 × 2 = 0 + 0,577 543 106 56;
  • 12) 0,577 543 106 56 × 2 = 1 + 0,155 086 213 12;
  • 13) 0,155 086 213 12 × 2 = 0 + 0,310 172 426 24;
  • 14) 0,310 172 426 24 × 2 = 0 + 0,620 344 852 48;
  • 15) 0,620 344 852 48 × 2 = 1 + 0,240 689 704 96;
  • 16) 0,240 689 704 96 × 2 = 0 + 0,481 379 409 92;
  • 17) 0,481 379 409 92 × 2 = 0 + 0,962 758 819 84;
  • 18) 0,962 758 819 84 × 2 = 1 + 0,925 517 639 68;
  • 19) 0,925 517 639 68 × 2 = 1 + 0,851 035 279 36;
  • 20) 0,851 035 279 36 × 2 = 1 + 0,702 070 558 72;
  • 21) 0,702 070 558 72 × 2 = 1 + 0,404 141 117 44;
  • 22) 0,404 141 117 44 × 2 = 0 + 0,808 282 234 88;
  • 23) 0,808 282 234 88 × 2 = 1 + 0,616 564 469 76;
  • 24) 0,616 564 469 76 × 2 = 1 + 0,233 128 939 52;
  • 25) 0,233 128 939 52 × 2 = 0 + 0,466 257 879 04;
  • 26) 0,466 257 879 04 × 2 = 0 + 0,932 515 758 08;
  • 27) 0,932 515 758 08 × 2 = 1 + 0,865 031 516 16;
  • 28) 0,865 031 516 16 × 2 = 1 + 0,730 063 032 32;
  • 29) 0,730 063 032 32 × 2 = 1 + 0,460 126 064 64;
  • 30) 0,460 126 064 64 × 2 = 0 + 0,920 252 129 28;
  • 31) 0,920 252 129 28 × 2 = 1 + 0,840 504 258 56;
  • 32) 0,840 504 258 56 × 2 = 1 + 0,681 008 517 12;
  • 33) 0,681 008 517 12 × 2 = 1 + 0,362 017 034 24;
  • 34) 0,362 017 034 24 × 2 = 0 + 0,724 034 068 48;
  • 35) 0,724 034 068 48 × 2 = 1 + 0,448 068 136 96;
  • 36) 0,448 068 136 96 × 2 = 0 + 0,896 136 273 92;
  • 37) 0,896 136 273 92 × 2 = 1 + 0,792 272 547 84;
  • 38) 0,792 272 547 84 × 2 = 1 + 0,584 545 095 68;
  • 39) 0,584 545 095 68 × 2 = 1 + 0,169 090 191 36;
  • 40) 0,169 090 191 36 × 2 = 0 + 0,338 180 382 72;
  • 41) 0,338 180 382 72 × 2 = 0 + 0,676 360 765 44;
  • 42) 0,676 360 765 44 × 2 = 1 + 0,352 721 530 88;
  • 43) 0,352 721 530 88 × 2 = 0 + 0,705 443 061 76;
  • 44) 0,705 443 061 76 × 2 = 1 + 0,410 886 123 52;
  • 45) 0,410 886 123 52 × 2 = 0 + 0,821 772 247 04;
  • 46) 0,821 772 247 04 × 2 = 1 + 0,643 544 494 08;
  • 47) 0,643 544 494 08 × 2 = 1 + 0,287 088 988 16;
  • 48) 0,287 088 988 16 × 2 = 0 + 0,574 177 976 32;
  • 49) 0,574 177 976 32 × 2 = 1 + 0,148 355 952 64;
  • 50) 0,148 355 952 64 × 2 = 0 + 0,296 711 905 28;
  • 51) 0,296 711 905 28 × 2 = 0 + 0,593 423 810 56;
  • 52) 0,593 423 810 56 × 2 = 1 + 0,186 847 621 12;
  • 53) 0,186 847 621 12 × 2 = 0 + 0,373 695 242 24;
  • 54) 0,373 695 242 24 × 2 = 0 + 0,747 390 484 48;
  • 55) 0,747 390 484 48 × 2 = 1 + 0,494 780 968 96;
  • 56) 0,494 780 968 96 × 2 = 0 + 0,989 561 937 92;
  • 57) 0,989 561 937 92 × 2 = 1 + 0,979 123 875 84;
  • 58) 0,979 123 875 84 × 2 = 1 + 0,958 247 751 68;
  • 59) 0,958 247 751 68 × 2 = 1 + 0,916 495 503 36;
  • 60) 0,916 495 503 36 × 2 = 1 + 0,832 991 006 72;
  • 61) 0,832 991 006 72 × 2 = 1 + 0,665 982 013 44;
  • 62) 0,665 982 013 44 × 2 = 1 + 0,331 964 026 88;
  • 63) 0,331 964 026 88 × 2 = 0 + 0,663 928 053 76;
  • 64) 0,663 928 053 76 × 2 = 1 + 0,327 856 107 52;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 003 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 003 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 003 47(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101 =

0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101


Numărul zecimal -0,000 282 003 47 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1011 1010 1110 0101 0110 1001 0010 1111 1101

Distribuie

» Scriere -0,000 282 002 88 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100