-0,000 282 003 87 scris ca binar pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754

Scriere -0,000 282 003 87(10) din zecimal în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

Care sunt pașii pentru a scrie numărul
-0,000 282 003 87(10) din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 (1 bit pentru semn, 11 biți pentru exponent, 52 de biți pentru mantisă)

1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

|-0,000 282 003 87| = 0,000 282 003 87


2. Întâi convertește în binar (în baza 2) partea întreagă: 0.
Împarte numărul în mod repetat la 2.

Notăm mai jos, în ordine, fiecare rest al împărțirilor.

Ne oprim când obținem un cât egal cu zero.


  • împărțire = cât + rest;
  • 0 : 2 = 0 + 0;

3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.

0(10) =

0(2)


4. Convertește în binar (baza 2) partea fracționară: 0,000 282 003 87.

Înmulțește numărul în mod repetat cu 2.

Notăm mai jos fiecare parte întreagă a înmulțirilor.

Ne oprim când obținem o parte fracționară egală cu zero.


  • #) înmulțire = întreg + fracționar;
  • 1) 0,000 282 003 87 × 2 = 0 + 0,000 564 007 74;
  • 2) 0,000 564 007 74 × 2 = 0 + 0,001 128 015 48;
  • 3) 0,001 128 015 48 × 2 = 0 + 0,002 256 030 96;
  • 4) 0,002 256 030 96 × 2 = 0 + 0,004 512 061 92;
  • 5) 0,004 512 061 92 × 2 = 0 + 0,009 024 123 84;
  • 6) 0,009 024 123 84 × 2 = 0 + 0,018 048 247 68;
  • 7) 0,018 048 247 68 × 2 = 0 + 0,036 096 495 36;
  • 8) 0,036 096 495 36 × 2 = 0 + 0,072 192 990 72;
  • 9) 0,072 192 990 72 × 2 = 0 + 0,144 385 981 44;
  • 10) 0,144 385 981 44 × 2 = 0 + 0,288 771 962 88;
  • 11) 0,288 771 962 88 × 2 = 0 + 0,577 543 925 76;
  • 12) 0,577 543 925 76 × 2 = 1 + 0,155 087 851 52;
  • 13) 0,155 087 851 52 × 2 = 0 + 0,310 175 703 04;
  • 14) 0,310 175 703 04 × 2 = 0 + 0,620 351 406 08;
  • 15) 0,620 351 406 08 × 2 = 1 + 0,240 702 812 16;
  • 16) 0,240 702 812 16 × 2 = 0 + 0,481 405 624 32;
  • 17) 0,481 405 624 32 × 2 = 0 + 0,962 811 248 64;
  • 18) 0,962 811 248 64 × 2 = 1 + 0,925 622 497 28;
  • 19) 0,925 622 497 28 × 2 = 1 + 0,851 244 994 56;
  • 20) 0,851 244 994 56 × 2 = 1 + 0,702 489 989 12;
  • 21) 0,702 489 989 12 × 2 = 1 + 0,404 979 978 24;
  • 22) 0,404 979 978 24 × 2 = 0 + 0,809 959 956 48;
  • 23) 0,809 959 956 48 × 2 = 1 + 0,619 919 912 96;
  • 24) 0,619 919 912 96 × 2 = 1 + 0,239 839 825 92;
  • 25) 0,239 839 825 92 × 2 = 0 + 0,479 679 651 84;
  • 26) 0,479 679 651 84 × 2 = 0 + 0,959 359 303 68;
  • 27) 0,959 359 303 68 × 2 = 1 + 0,918 718 607 36;
  • 28) 0,918 718 607 36 × 2 = 1 + 0,837 437 214 72;
  • 29) 0,837 437 214 72 × 2 = 1 + 0,674 874 429 44;
  • 30) 0,674 874 429 44 × 2 = 1 + 0,349 748 858 88;
  • 31) 0,349 748 858 88 × 2 = 0 + 0,699 497 717 76;
  • 32) 0,699 497 717 76 × 2 = 1 + 0,398 995 435 52;
  • 33) 0,398 995 435 52 × 2 = 0 + 0,797 990 871 04;
  • 34) 0,797 990 871 04 × 2 = 1 + 0,595 981 742 08;
  • 35) 0,595 981 742 08 × 2 = 1 + 0,191 963 484 16;
  • 36) 0,191 963 484 16 × 2 = 0 + 0,383 926 968 32;
  • 37) 0,383 926 968 32 × 2 = 0 + 0,767 853 936 64;
  • 38) 0,767 853 936 64 × 2 = 1 + 0,535 707 873 28;
  • 39) 0,535 707 873 28 × 2 = 1 + 0,071 415 746 56;
  • 40) 0,071 415 746 56 × 2 = 0 + 0,142 831 493 12;
  • 41) 0,142 831 493 12 × 2 = 0 + 0,285 662 986 24;
  • 42) 0,285 662 986 24 × 2 = 0 + 0,571 325 972 48;
  • 43) 0,571 325 972 48 × 2 = 1 + 0,142 651 944 96;
  • 44) 0,142 651 944 96 × 2 = 0 + 0,285 303 889 92;
  • 45) 0,285 303 889 92 × 2 = 0 + 0,570 607 779 84;
  • 46) 0,570 607 779 84 × 2 = 1 + 0,141 215 559 68;
  • 47) 0,141 215 559 68 × 2 = 0 + 0,282 431 119 36;
  • 48) 0,282 431 119 36 × 2 = 0 + 0,564 862 238 72;
  • 49) 0,564 862 238 72 × 2 = 1 + 0,129 724 477 44;
  • 50) 0,129 724 477 44 × 2 = 0 + 0,259 448 954 88;
  • 51) 0,259 448 954 88 × 2 = 0 + 0,518 897 909 76;
  • 52) 0,518 897 909 76 × 2 = 1 + 0,037 795 819 52;
  • 53) 0,037 795 819 52 × 2 = 0 + 0,075 591 639 04;
  • 54) 0,075 591 639 04 × 2 = 0 + 0,151 183 278 08;
  • 55) 0,151 183 278 08 × 2 = 0 + 0,302 366 556 16;
  • 56) 0,302 366 556 16 × 2 = 0 + 0,604 733 112 32;
  • 57) 0,604 733 112 32 × 2 = 1 + 0,209 466 224 64;
  • 58) 0,209 466 224 64 × 2 = 0 + 0,418 932 449 28;
  • 59) 0,418 932 449 28 × 2 = 0 + 0,837 864 898 56;
  • 60) 0,837 864 898 56 × 2 = 1 + 0,675 729 797 12;
  • 61) 0,675 729 797 12 × 2 = 1 + 0,351 459 594 24;
  • 62) 0,351 459 594 24 × 2 = 0 + 0,702 919 188 48;
  • 63) 0,702 919 188 48 × 2 = 1 + 0,405 838 376 96;
  • 64) 0,405 838 376 96 × 2 = 0 + 0,811 676 753 92;

Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă) și am obținut măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (Pierdem din precizie - numărul convertit pe care îl vom obține în final va fi doar o foarte bună aproximare a celui inițial).


5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului.

Ia fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor, începând din partea de sus a listei construite:


0,000 282 003 87(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010(2)

6. Numărul pozitiv înainte de normalizare:

0,000 282 003 87(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010(2)

7. Normalizează reprezentarea binară a numărului.

Mută virgula cu 12 poziții la dreapta, astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de 0:


0,000 282 003 87(10) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010(2) =

0,0000 0000 0001 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010(2) × 20 =

1,0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010(2) × 2-12


8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

Semn 1 (un număr negativ)

Exponent (neajustat): -12

Mantisă (nenormalizată):
1,0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010


9. Ajustează exponentul.

Folosește reprezentarea deplasată pe 11 biți:


Exponent (ajustat) =

Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 =

-12 + 2(11-1) - 1 =

(-12 + 1 023)(10) =

1 011(10)


10. Convertește exponentul ajustat din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți.

Folosește din nou tehnica împărțirii repetate la 2:


  • împărțire = cât + rest;
  • 1 011 : 2 = 505 + 1;
  • 505 : 2 = 252 + 1;
  • 252 : 2 = 126 + 0;
  • 126 : 2 = 63 + 0;
  • 63 : 2 = 31 + 1;
  • 31 : 2 = 15 + 1;
  • 15 : 2 = 7 + 1;
  • 7 : 2 = 3 + 1;
  • 3 : 2 = 1 + 1;
  • 1 : 2 = 0 + 1;

11. Construiește reprezentarea în baza 2 a exponentului ajustat.

Ia fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus.


Exponent (ajustat) =

1011(10) =

011 1111 0011(2)


12. Normalizează mantisa.

a) Renunță la primul bit, cel mai din stânga, care e întotdeauna 1, și la separatorul zecimal, dacă e cazul.

b) Ajustează-i lungimea la 52 biți, doar dacă e necesar (nu e cazul aici).


Mantisă (normalizată) =

1. 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010 =

0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010


13. Cele trei elemente care alcătuiesc reprezentarea numărului în sistem binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

Semn (1 bit) =
1 (un număr negativ)

Exponent (11 biți) =
011 1111 0011

Mantisă (52 biți) =
0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010


Numărul zecimal -0,000 282 003 87 scris în binar în representarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754:

1 - 011 1111 0011 - 0010 0111 1011 0011 1101 0110 0110 0010 0100 1001 0000 1001 1010

Distribuie

» Scriere -0,000 282 002 92 din zecimal în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754

» Calcule efectuate de vizitatorii noștri: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, virgulă mobilă în standard IEEE 754. Date organizate lunar

» Luna 05, 2026 [Mai]: Numere zecimale scrise în binar în reprezentarea pe 64 biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754. Calcule efectuate pe parcursul lunii: Mai - de vizitatorii noștri

Cum să convertești numere zecimale din sistem zecimal (baza 10) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți

Urmează pașii de mai jos pentru a converti un număr zecimal (cu virgulă) din baza zece în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Dacă numărul de convertit e negativ, începe cu versiunea pozitivă a numărului.
  • 2. Convertește întâi partea întreagă, împarte în mod repetat la 2 reprezentarea pozitivă a numărului întreg cu semn care trebuie convertit în sistem binar, ținând minte fiecare rest al împărțirilor. Atunci când găsim un CÂT care e egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește apoi reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor efectuate, începând din partea de jos a listei construite mai sus. Astfel, ultimul rest al împărțirilor de la punctul de mai sus devine primul simbol (situat cel mai la stânga) al numărului în baza doi, în timp ce primul rest devine ultimul simbol (situat cel mai la dreapta).
  • 4. Convertește apoi partea fracționară. Înmulțește partea fracționara în mod repetat cu 2, până se obține o parte fracționară egală cu zero, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor.
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate, începând din partea de sus a listei construite mai sus (se iau părțile întregi în ordinea în care au fost obținute).
  • 6. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu "n" poziții fie la stânga, fie la dreapta, astfel încât partea întreagă a numărului binar să aibă un singur bit, diferit de '0' (la stânga semnului zecimal să rămână un singur simbol, egal cu 1).
  • 7. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:
    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1;
  • 8. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care este întotdeauna '1' (și la semnul zecimal, dacă e cazul) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, fie renunțând la biții în exces din dreapta (pierzând precizie...), fie adaugând tot la dreapta biți setați pe '0'.
  • Semnul (ocupă 1 bit) e egal fie cu 1, dacă e număr negativ, fie cu 0, dacă e număr pozitiv.

Exemplu: convertește numărul negativ -31,640 215 din sistem zecimal (baza zece) în sistem binar în virgulă mobilă în reprezentarea IEEE 754, precizie dublă pe 64 de biți:

  • 1. Începe cu versiunea pozitivă a numărului:

    |-31,640 215| = 31,640 215;

  • 2. Convertește întâi partea întreagă, 31. Împarte numărul 31 în mod repetat la 2, ținând minte fiecare rest al împărțirilor, până obținem un cât care este egal cu zero:
    • împărțire = cât + rest;
    • 31 : 2 = 15 + 1;
    • 15 : 2 = 7 + 1;
    • 7 : 2 = 3 + 1;
    • 3 : 2 = 1 + 1;
    • 1 : 2 = 0 + 1;
    • Am obținut un cât care este egal cu ZERO => STOP
  • 3. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții întregi a numărului, luând fiecare rest al împărțirilor începând din partea de jos a listei construite mai sus:

    31(10) = 1 1111(2)

  • 4. Convertește apoi partea fracționară 0,640 215. Înmulțește în mod repetat cu 2, ținând minte fiecare parte întreagă a înmulțirilor, până obținem o parte fracționară egală cu zero:
    • #) înmulțire = întreg + fracționar;
    • 1) 0,640 215 × 2 = 1 + 0,280 43;
    • 2) 0,280 43 × 2 = 0 + 0,560 86;
    • 3) 0,560 86 × 2 = 1 + 0,121 72;
    • 4) 0,121 72 × 2 = 0 + 0,243 44;
    • 5) 0,243 44 × 2 = 0 + 0,486 88;
    • 6) 0,486 88 × 2 = 0 + 0,973 76;
    • 7) 0,973 76 × 2 = 1 + 0,947 52;
    • 8) 0,947 52 × 2 = 1 + 0,895 04;
    • 9) 0,895 04 × 2 = 1 + 0,790 08;
    • 10) 0,790 08 × 2 = 1 + 0,580 16;
    • 11) 0,580 16 × 2 = 1 + 0,160 32;
    • 12) 0,160 32 × 2 = 0 + 0,320 64;
    • 13) 0,320 64 × 2 = 0 + 0,641 28;
    • 14) 0,641 28 × 2 = 1 + 0,282 56;
    • 15) 0,282 56 × 2 = 0 + 0,565 12;
    • 16) 0,565 12 × 2 = 1 + 0,130 24;
    • 17) 0,130 24 × 2 = 0 + 0,260 48;
    • 18) 0,260 48 × 2 = 0 + 0,520 96;
    • 19) 0,520 96 × 2 = 1 + 0,041 92;
    • 20) 0,041 92 × 2 = 0 + 0,083 84;
    • 21) 0,083 84 × 2 = 0 + 0,167 68;
    • 22) 0,167 68 × 2 = 0 + 0,335 36;
    • 23) 0,335 36 × 2 = 0 + 0,670 72;
    • 24) 0,670 72 × 2 = 1 + 0,341 44;
    • 25) 0,341 44 × 2 = 0 + 0,682 88;
    • 26) 0,682 88 × 2 = 1 + 0,365 76;
    • 27) 0,365 76 × 2 = 0 + 0,731 52;
    • 28) 0,731 52 × 2 = 1 + 0,463 04;
    • 29) 0,463 04 × 2 = 0 + 0,926 08;
    • 30) 0,926 08 × 2 = 1 + 0,852 16;
    • 31) 0,852 16 × 2 = 1 + 0,704 32;
    • 32) 0,704 32 × 2 = 1 + 0,408 64;
    • 33) 0,408 64 × 2 = 0 + 0,817 28;
    • 34) 0,817 28 × 2 = 1 + 0,634 56;
    • 35) 0,634 56 × 2 = 1 + 0,269 12;
    • 36) 0,269 12 × 2 = 0 + 0,538 24;
    • 37) 0,538 24 × 2 = 1 + 0,076 48;
    • 38) 0,076 48 × 2 = 0 + 0,152 96;
    • 39) 0,152 96 × 2 = 0 + 0,305 92;
    • 40) 0,305 92 × 2 = 0 + 0,611 84;
    • 41) 0,611 84 × 2 = 1 + 0,223 68;
    • 42) 0,223 68 × 2 = 0 + 0,447 36;
    • 43) 0,447 36 × 2 = 0 + 0,894 72;
    • 44) 0,894 72 × 2 = 1 + 0,789 44;
    • 45) 0,789 44 × 2 = 1 + 0,578 88;
    • 46) 0,578 88 × 2 = 1 + 0,157 76;
    • 47) 0,157 76 × 2 = 0 + 0,315 52;
    • 48) 0,315 52 × 2 = 0 + 0,631 04;
    • 49) 0,631 04 × 2 = 1 + 0,262 08;
    • 50) 0,262 08 × 2 = 0 + 0,524 16;
    • 51) 0,524 16 × 2 = 1 + 0,048 32;
    • 52) 0,048 32 × 2 = 0 + 0,096 64;
    • 53) 0,096 64 × 2 = 0 + 0,193 28;
    • Nicio parte fracționară egală cu zero n-a fost obținută prin calcule. Însă am efectuat un număr suficient de iterații (peste limita de Mantisă = 52) și a fost calculată măcar o parte întreagă diferită de zero => STOP (pierzând precizie...).
  • 5. Construiește reprezentarea în baza 2 a părții fracționare a numărului, luând fiecare parte întreagă a rezultatelor înmulțirilor efectuate anterior, începând din partea de sus a listei construite:

    0,640 215(10) = 0,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 6. Recapitulare - numărul pozitiv înainte de normalizare:

    31,640 215(10) = 1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2)

  • 7. Normalizează reprezentarea binară a numărului, mutând virgula cu 4 poziții la stânga astfel încât partea întreagă a acestuia să aibă un singur bit, diferit de '0':

    31,640 215(10) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) =
    1 1111,1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 20 =
    1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0(2) × 24

  • 8. Până la acest moment avem următoarele elemente ce vor alcătui numărul binar în reprezentare IEEE 754, precizie dublă (64 biți):

    Semn: 1 (număr negativ);

    Exponent (neajustat): 4;

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0;

  • 9. Ajustează exponentul folosind reprezentarea deplasată pe 11 biți apoi convertește-l din zecimal (baza 10) în binar pe 11 biți, folosind tehnica împărțirii repetate la 2, așa cum am mai arătat mai sus:

    Exponent (ajustat) = Exponent (neajustat) + 2(11-1) - 1 = (4 + 1023)(10) = 1027(10) =
    100 0000 0011(2)

  • 10. Normalizează mantisa, renunțând la primul bit (cel mai din stânga), care e întotdeauna '1' (și la semnul zecimal) și ajustându-i lungimea, la 52 biți, prin renunțarea la biții în exces, din dreapta (pierzând precizie...):

    Mantisă (nenormalizată): 1,1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100 1010 0

    Mantisă (normalizată): 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Concluzia:

    Semn (1 bit) = 1 (număr negativ)

    Exponent (11 biți) = 100 0000 0011

    Mantisă (52 biți) = 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100

  • Numărul -31,640 215, zecimal, convertit din sistem zecimal (baza 10) în binar pe 64 de biți, precizie dublă, în virgulă mobilă în standard IEEE 754 este:
    1 - 100 0000 0011 - 1111 1010 0011 1110 0101 0010 0001 0101 0111 0110 1000 1001 1100